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===与EI的相似性 ===

===与EI的相似性 ===

根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}

根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}</math>。下面通过数值模拟说明这一点。

</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>

EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}

</math>。下面通过数值模拟说明这一点。

如下图所示，在由三种不同方法生成的各种归一化的TPM 上比较了<math>

 

\log{\Gamma_{\alpha}}

</math>和 EI：'''1）'''软化置换矩阵；'''2）'''软化退化矩阵；'''3）'''完全随机矩阵。以下是具体生成步骤：

 

如上图所示，在由三种不同方法生成的各种归一化的TPM 上比较了<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>和 EI的关系，这三种关系包括：1）软化置换矩阵（图a）；2）软化退化矩阵（图b）；3）完全随机矩阵（图c）。

 

图(a)、(b)和(c)表明，在这些例子中都观察到了正相关性，并且在N ≫ 1 时，<math>EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}.</math>的近似关系得到了证实。在(a) 和 (b) 中可以明显观察到这种关系，但在(b) 中，由于覆盖了有限的<math>\Gamma</math>值区域，这种关系退化为近似线性关系。

 

图(a)和(b)中用红色虚线表示了 EI 的上下限。不过，在图(c）中，由于所有点都集中在一个小区域内，因此看不到理论边界线。根据经验，图中灰色断线所示的<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的上限更为严格。因此可以推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待证明。

 

'''软化置换矩阵：'''

'''软化置换矩阵：'''

2）对于P中的每个行向量<math>P_{i}</math>，假设1元素的位置是<math>j_{i}</math>，我们将<math>P_{i}</math>的所有条目填入位于<math>j_{i}</math>处的高斯分布中心的概率，即<math>P'_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(j - j_i)^2}{\sigma^2} \right)</math>，其中，<math>\sigma</math>是软化程度的自由参数；

2）对于P中的每个行向量<math>P_{i}</math>，假设1元素的位置是<math>j_{i}</math>，我们将<math>P_{i}</math>的所有条目填入位于<math>j_{i}</math>处的高斯分布中心的概率，即<math>P'_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(j - j_i)^2}{\sigma^2} \right)</math>，其中，<math>\sigma</math>是软化程度的自由参数；

3) 将<math>\sum_{j=1}^{N} P'_{ij} = 1

3) 将<math>\sum_{j=1}^{N} P'_{ij} = 1</math>除以新的行向量，使其归一化，这样修改后的矩阵<math>P'</math>也是一个TPM。

</math>除以新的行向量，使其归一化，这样修改后的矩阵<math>P'</math>也是一个TPM。

'''软化退化矩阵：'''

'''软化退化矩阵：'''

 

进一步，文献<ref name=":22"/>还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和<math>\Gamma</math>的解析解，并展示了EI和<math>\Gamma</math>与参数p和q的关系。其中p和q用于生成最简单的<math>2 \times 2</math>马尔科夫矩阵<math>P=\begin{pmatrix}p& 1-p\\1-q & q\end{pmatrix}</math>，下图(a)表示<math>\Gamma</math>随p和q的变化，图(b)表示EI随p和q 的变化。(a)和(b)之间的差异显而易见：1）当<math>p\approx 1-q</math>时，<math>\Gamma</math>有一个峰值，但EI没有；2）观察到EI ≈ 0时的区域更宽，而<math>\Gamma\approx 1</math>时的区域要小得多；3）观察到<math>\Gamma</math>有一个从0到最大N=2的渐进过渡，但EI没有。

因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma</math>在各种TPM上高度相关。

 

</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待证明。

 

 

文献中作者还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和<math>

\Gamma

</math>的解析解，并展示了EI和<math>

\Gamma

</math>与参数p和q的关系。其中p和q用于生成最简单的<math>2 \times 2</math>马尔科夫矩阵<math>P=\begin{pmatrix}

p& 1-p\\

1-q & q

\end{pmatrix}

</math>，下图(a)表示<math>

\Gamma

</math>随p和q的变化，图(b)表示EI随p和q 的变化。(a)和(b)之间的差异显而易见：1）当<math>

p\approx 1-q

</math>时，<math>\Gamma

</math>有一个峰值，但EI没有；2）观察到EI ≈ 0时的区域更宽，而<math>\Gamma\approx 1

</math>时的区域要小得多；3）观察到<math>\Gamma

</math>有一个从0到最大N=2的渐进过渡，但EI没有。

因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma

</math>在各种TPM上高度相关。

[[文件:202401012.png|替代=|603x603像素]]

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