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=基于SVD分解的新粗粒化策略=

=基于SVD分解的新粗粒化策略=

==TPM矩阵的粗粒化方法==

==TPM矩阵的粗粒化方法==

虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊因果涌现，但需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与 EI 得出的结果进行比较。因此，该理论提供了一种基于奇异值分解的粗粒化方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将 P 中的行向量 <math>

虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊因果涌现，但在一些场合，我们仍然需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与 EI 得出的结果进行比较。因此，该理论提供了一种基于奇异值分解的粗粒化方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将 P 中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math>投影到<math>P\cdot P^{T}</math>的特征向量张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>\Gamma</math>不变。

P_{i},\forall i \in [1,N]

</math>投影到<math>

P\cdot P^{T}

</math>的特征向量张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>

\Gamma

</math>不变。

该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有平稳流都是保守的原则，对原始TPM进行粗粒化。

该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有平稳流都是保守的原则，对原始TPM进行粗粒化。

其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。

其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。

'''2)'''选择一个<math>

'''2)'''选择一个<math>\epsilon</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}</math>作为保留状态的个数；

\epsilon

</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}

</math>作为保留状态的个数；

'''3)'''通过计算<math>

'''3)'''通过计算<math>\tilde{P}\equiv P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>V_{N\times r_{\epsilon}}</math>由<math>P\cdot P^{T}</math>的前<math>r_{\epsilon}</math>特征向量构成；

\tilde{P}\equiv P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}

</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>

V_{N\times r_{\epsilon}}

</math>由<math>

P\cdot P^{T}

</math>的前<math>r_{\epsilon}

</math>特征向量构成；

'''4)''' 通过 K-means 算法将<math>\tilde{P}</math>中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:

'''4)''' 通过 K-means 算法将<math>\tilde{P}</math>中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:

对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。

对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。

'''5)''' 利用<math>

'''5)''' 利用<math>\Phi</math>和P得到新的TPM。

\Phi</math>和P得到新的TPM。

为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为平稳流矩阵，如下所示：

为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为平稳流矩阵，如下所示：