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其中，函数 <math>f(\cdot)</math> 代表某种确定性的映射，将高维的微观状态映射到较低维的宏观表征。因此，宏观状态 <math>V_t</math> 是 <math>X_t</math> 的随附特征（supervenience），意味着 <math>V_t</math> 的值完全依赖于 <math>X_t</math>，但不同的粗粒化方法可能导致不同的宏观表征。

其中，函数 <math>f(\cdot)</math> 代表某种确定性的映射，将高维的微观状态映射到较低维的宏观表征。因此，宏观状态 <math>V_t</math> 是 <math>X_t</math> 的随附特征（supervenience），意味着 <math>V_t</math> 的值完全依赖于 <math>X_t</math>，但不同的粗粒化方法可能导致不同的宏观表征。

'''基于特有信息的因果涌现量化'''：在指定系统的宏观随附特征（即宏观态变量） <math>V_t</math> 后，系统的因果涌现可以被特有信息

'''基于特有信息的因果涌现量化'''：在指定系统的宏观随附特征（即宏观态变量） <math>V_t</math> 后，系统的因果涌现可以被定义为

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所量化，这里 <math>Un^{(k)}(V_t;X_{t+1}| X_t)</math>表示在给定[math]X_t[/math]条件下，变量[math]V_t[/math]对[math]X_{t+1}[/math]的k阶特有信息。

这里 <math>Un^{(k)}(V_t;X_{t+1}| X_t)</math>表示在给定[math]X_t[/math]的所有分量的情况下，变量[math]V_t[/math]对[math]X_{t+1}[/math]所提供的不包括在任何<math>X_t</math>中大小大于k的子集中的信息。

当：

当：

'''编者注：''' 此处作者的数学表述有歧义，因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。因此将因果涌现指标写成 <math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t)>0</math>并不妥当，因为通常来说系统的宏观特征应当是系统所有微观态的一个确定性函数，即<math>H(V_t| X_t)=0</math>（比如知道了系统内的所有分子的状态，那么系统的宏观状态应当是明确的）。这个问题会导致该指标永远等于0，并不能实现作者所希望的效果。作为对这个问题的修正，我们提议将该指标写作<math>Un(V_t;X_{t+1}| X_t^1,...,X_t^n )</math>，该表示方式代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。以两变量系统为例，令微观变量<math>X_{t}^1, X_{t}^2</math>为变量1和2，宏观变量<math>V_{t}=\{X_{t}^1, X_{t}^2\}</math>为变量3，目标变量为<math>\{X_{t+1}^1, X_{t+1}^2\}</math>，此时三变量关于目标变量的信息分解如下图所示。按照信息分解定义，特有信息应当只表示<math>\{3\}</math>一个节点，但是该定义实际上应当包含下图中的粉色区域所有晶格。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗粒化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。

'''编者注：''' 因果涌现指标想要表示的是不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被他们之间的协同效应(的代表<math>V_t</math> )所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。该指标代表不能够被任何单一的微观变量<math>X_t^j</math>所提供的信息，但是能够被<math>V_t</math>所提供的关于下一时刻系统 <math>X_{t+1}</math> 的信息。以两变量系统为例，令微观变量<math>X_{t}^1, X_{t}^2</math>为变量1和2，宏观变量<math>V_{t}=\{X_{t}^1, X_{t}^2\}</math>为变量3，目标变量为<math>\{X_{t+1}^1, X_{t+1}^2\}</math>，此时三变量关于目标变量的信息分解如下图所示，该定义实际上应当包含下图中的粉色区域所有晶格。但是需要注意的是，尽管这种表示方式能够严谨的表达因果涌现的定义，但是无法套用PID算法对该指标进行计算。如果想要计算修正后的该指标，需要引入有粗粒化函数的PhiID框架，但该部分理论内容目前尚未被完善。

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