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→时间可逆的马尔科夫链
前面的讨论都沿着时间正向在讨论，下面考虑时间反向的过程。
前面的讨论都沿着时间正向在讨论，下面考虑时间反向的过程。
<math>P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)=
<math>\mathbb{P}(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)=
\frac{P(X_n=j|X_{n+1}=i)P(X_{n+2},\ldots|X_{n+1}=i,X_n=j)}{P(X_{n+2},\ldots|X_{n+1}=i)}
\frac{\mathbb{P}(X_n=j|X_{n+1}=i)\mathbb{P}(X_{n+2},\ldots|X_{n+1}=i,X_n=j)}{\mathbb{P}(X_{n+2},\ldots|X_{n+1}=i)}
=P(X_n=j|X_{n+1}=i)
=\mathbb{P}(X_n=j|X_{n+1}=i)
=\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}</math>，
=\frac{\mathbb{P}(X_n=j)\mathbb{P}(X_{n+1}=i|X_n=j)}{\mathbb{P}(X_{n+1}=i)}</math>，
即反向过程仍满足马尔科夫性质。这其实是马尔科夫性质的等价定义——给定现在的条件下，过去与未来条件独立。并且，一般来讲，上述一步转移概率是与时间<math>n</math>有关的，即反向过程是非齐次的。
即反向过程仍满足马尔科夫性质。这其实是马尔科夫性质的等价定义——给定现在的条件下，过去与未来条件独立。并且，一般来讲，上述一步转移概率是与时间<math>n</math>有关的，即反向过程是非齐次的。
下面考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其唯一的平稳分布为<math>\pi</math>。若从平稳分布<math>\pi</math>出发，有
下面考察有限状态空间上不可约、非周期的马尔科夫链，其唯一的平稳分布为<math>\pi</math>。若从平稳分布<math>\pi</math>出发，有
<math>P(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)
<math>\mathbb{P}(X_n=j|X_{n+1}=i,X_{n+2},\ldots)
=\frac{P(X_n=j)P(X_{n+1}=i|X_n=j)}{P(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}\triangleq q_{ij}</math>，
=\frac{\mathbb{P}(X_n=j)\mathbb{P}(X_{n+1}=i|X_n=j)}{\mathbb{P}(X_{n+1}=i)}=\frac{\pi_jp_{ji}}{\pi_i}\triangleq q_{ij}</math>，
此时，反向过程是齐次的。
此时，反向过程是齐次的。