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==历史发展==
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1906年，俄罗斯数学家Andrey Andreyevich Markov在研究大数定律时，首次定义了离散随机序列在给定现在的条件下，过去与未来的条件独立性。
1906年，俄罗斯数学家Andrey Andreyevich Markov在研究大数定律时，首次定义了离散随机序列在给定现在的条件下，过去与未来的条件独立性。
<ref name=":3">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>。这个性质后来被称为马尔科夫性，满足这个性质的离散随机过程被称为马尔科夫链。随后，Andrey Markov基于普希金的长诗《叶甫盖尼・奥涅金》研究了俄语字母序列上的马尔科夫链及其极限分布<ref name=":4">Markov A A. Issledovanie statističeskich zakonov vjumel’nogo jazika (Analysis of statistical laws in the verse language). Trudy Imperatorskogo S.-Peterburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva, 2nd series, 1913, 42, 153–162.</ref>。1931年，David George Kendall等人将指标集合推广为连续时间并建立了相应理论，其中得到了著名的Chapman-Kolmogorov方程。<ref name=":5">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>。
<ref name=":3">Markov A A．Rasprostranenie zakona bol’shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga．Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 1906, 15: 135-156.</ref>。这个性质后来被称为马尔科夫性，满足这个性质的离散随机过程被称为马尔科夫链。随后，Andrey Markov基于普希金的长诗《叶甫盖尼・奥涅金》研究了俄语字母序列上的马尔科夫链及其极限分布<ref name=":4">Markov A A. Issledovanie statističeskich zakonov vjumel’nogo jazika (Analysis of statistical laws in the verse language). Trudy Imperatorskogo S.-Peterburgskogo Mineralogičeskogo Obščestva, 2nd series, 1913, 42:153–162.</ref>。1931年，David George Kendall等人推广为连续时间马尔科夫链并建立了相应理论，其中包括著名的Kolmogorov方程。<ref name=":5">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>。1953年，Nicholas Metropolis通过引入马尔科夫链发展出了著名的马尔科夫链蒙特卡洛随机模拟算法<ref name=":6">
Metropolis N, Rosenbluth A W, Rosenbluth M N, Teller A H and Teller E. Equation of state calculations by fast computing machines. The journal of chemical physics, 1953, 21(6): 1087-1092.<\ref>。
进一步，马尔科夫链被发展为更复杂的模型。1966年，Leonard Esau Baum和Ted Petrie提出了状态隐藏的双重马尔可夫过程——隐马尔可夫模型（HMM）
<ref name=":7">Baum L E and Petrie T. Statistical inference for probabilistic functions of finite state Markov chains. The annals of mathematical statistics, 1966, 37(6): 1554-1563.<\ref>。
1980 年，Kindermann Richard和John Leslie Snell在专著中详细介绍了针对多维、无向的马尔可夫随机场
<ref name=":8">Kindermann R, Snell J L. Markov random fields and their applications. American mathematical society, 1980.<\ref>。
==离散（或连续）时间马尔科夫链的定义==
==离散（或连续）时间马尔科夫链的定义==