更改

其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>分别包含了两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交基。

其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>分别包含了两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交基。

随后我们构造新的奇异值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_n)</math>对角矩阵与合并的奇异向量矩阵<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_n)</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_n</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有奇异值，<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>，共同从大到小排列后产生的新奇异值谱，<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_n)</math>是<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>中与<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_n</math>对应的奇异向量。

随后我们构造新的奇异值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_{2n})</math>对角矩阵与合并的奇异向量矩阵<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有奇异值，<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>，共同从大到小排列后产生的新奇异值谱，<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>是<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>中与<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>对应的奇异向量。

我们规定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>，我们可以将奇异向量矩阵进行分解，得到

我们规定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>，我们可以将奇异向量矩阵进行分解，得到

<blockquote>

<blockquote>

<math>

<math>

  \tilde{U}=(\tilde{U}_{1},\tilde{U}_{2}),\tilde{U}_{1}\in\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}, \tilde{U}_{2}\in\mathcal{R}^{n\times (2n-r_{\epsilon0})}

  \tilde{U}=(\tilde{U}_{1},\tilde{U}_{2}),\tilde{U}_{1}\in\mathcal{R}^{2n\times r_{\epsilon0}}, \tilde{U}_{2}\in\mathcal{R}^{2n\times (2n-r_{\epsilon0})}

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>