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=== 带独立边的多尺度模型 ===

=== 带独立边的多尺度模型 ===

对于带独立边的图模型，可找到显式不动点$$P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)$$，概率分布分解为节点对$$i_\ell j_\ell$$的连接概率$$p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)$$：

对于带独立边的图模型，可以找到显式不动点 <math>P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)</math>。这类模型的概率分布可分解为节点对 <math>i_{\ell} j_{\ell}</math>的连接概率 <math>p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)</math>：

<math>

 

P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)=\prod_{i_\ell,j_\ell}^n\left[p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}\left[1-p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{1-A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}

<math>P\left(A^{(\ell)} \mid \Theta_\ell\right)=\prod_{i_\ell,j_\ell}^n\left[p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}\left[1-p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_\ell\right)\right]^{1-A_{i_\ell,j_\ell}^{(\ell)}}, \tag{10}</math>

</math>

 

多尺度模型（MSM）[137]定义为连接概率空间中重整化群流的唯一非平凡不动点，满足尺度不变性要求：

多尺度模型（multiscale model，MSM）[137]可定义为连接概率空间中重整化群流的唯一非平凡不动点，即在方程(2)下满足尺度不变性要求的解：

<math>

 

p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_{\ell}\right)=

<math>p_{i_{\ell} j_{\ell}}\left(\Theta_{\ell}\right)=\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell} x_{j_\ell} f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)}, & i_{\ell} \neq j_{\ell}; \\ 1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell}^2 f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)/2}, & i_{\ell}=j_{\ell}, \end{cases} \tag{11}</math>

\begin{cases}  

 

1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell} x_{j_\ell} f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)}, & i_{\ell} \neq j_{\ell}; \\

其中参数 <math>\Theta_{ij}</math>被分解为如下参数：全局参数 <math>\delta > 0</math>调节网络整体连接密度， <math>N_\ell</math>个正定节点特异性加性参数 <math>\{x_{i_\ell}\}_{i_\ell=1}^{N_\ell}</math>（称为“适应度”值）决定节点建立连接的个体倾向，以及（可选） <math>N_\ell^2</math>个二元参数 <math>\{d_{i_\ell j_\ell}\}_{i_\ell,j_\ell=1}^{N_\ell}</math>表示节点对效应（如节点相似性、距离或共同社区成员资格）。函数 <math>f</math>是任意单调正值函数。

1-\mathrm{e}^{-\delta x_{i_\ell}^2 f\left(d_{i_\ell j_{\ell}}\right)/2}, & i_{\ell}=j_{\ell},

\end{cases}

</math>

其中参数$$\Theta_{ij}$$分解为全局参数$$\delta>0$$调节网络整体连接密度，$$N_\ell$$个正定节点特异性参数$$\{x_{i_\ell}\}$$（适应度值）决定节点建立连接的个体倾向，以及$$N_\ell^2$$个二元参数$$\{d_{i_\ell j_\ell}\}$$表示节点对效应，函数$$f$$是任意单调正值函数。

=== 参数重整化与聚合不变性 ===

=== 参数重整化与聚合不变性 ===