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→几何重整化技术
几何重整化表明，多尺度自相似性可以作为真实世界的网络中跨领域普遍存在的对称性<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref><ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>，并且还能准确预测人类大脑连接组的多尺度重构中观察到的自相似性，这些发现表明几何重整化非常接近于小世界和非小世界机制之间的临界结构转变<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_connectome">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=Allard A|author3=Hagmann P|author4=Alemán-Gómez Y|author5=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization unravels self-similarity of the multiscale human connectome|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2020|volume=117|url=}}</ref>（图1b）。这些发现可由 <math>\mathbb{S}^1</math> 或 <math>\mathbb{H}^2</math> 模型在几何（ <math>\beta > 1</math>）<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref> 和非几何（ <math>\beta \leq 1</math>）<ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref> 机制下的可重整化性所解释。对隐藏度的尺度变换是通过要求连接概率不变性（公式 (4)）的条件下获得的。角度坐标流式可由任何保持原始模型旋转不变性的变换来定义。记 <math>z_{i_\ell} = \kappa_{i_\ell}^{\max(1, \beta)}</math>，则保持连接概率并因而在重整化流中能够保持网络拓扑性质的变换可写为
几何重整化表明，多尺度自相似性可以作为真实世界的网络中跨领域普遍存在的对称性<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref><ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>，并且还能准确预测人类大脑连接组的多尺度重构中观察到的自相似性，这些发现表明几何重整化非常接近于小世界和非小世界机制之间的临界结构转变<ref name="Zheng_Geometric_renormalization_connectome">{{cite journal|author1=Zheng M|author2=Allard A|author3=Hagmann P|author4=Alemán-Gómez Y|author5=Serrano M. Á.|title=Geometric renormalization unravels self-similarity of the multiscale human connectome|journal=Proc. Natl Acad. Sci. USA|year=2020|volume=117|url=}}</ref>（图1b）。这些发现可由 <math>\mathbb{S}^1</math> 或 <math>\mathbb{H}^2</math> 模型在几何（ <math>\beta > 1</math>）<ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref> 和非几何（ <math>\beta \leq 1</math>）<ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref> 机制下的可重整化性所解释。对隐藏度的尺度变换是通过要求连接概率不变性（公式 (4)）的条件下获得的。角度坐标流式可由任何保持原始模型旋转不变性的变换来定义。记 <math>z_{i_\ell} = \kappa_{i_\ell}^{\max(1, \beta)}</math>，则保持连接概率并因而在重整化流中能够保持网络拓扑性质的变换可写为
<math>z_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}, \quad \theta_{i_{\ell+1}} = \frac{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell} \theta_{i_\ell}}{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}}.\tag{6}</math>
{{NumBlk|:|<math>z_{i_{\ell+1}} = \sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}, \quad \theta_{i_{\ell+1}} = \frac{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell} \theta_{i_\ell}}{\sum_{i_\ell \in i_{\ell+1}} z_{i_\ell}}.\tag{6}</math> |{{EquationRef|1}}}}
其中，约定 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math> 表示属于超节点 <math>i_{\ell+1}</math> 的节点。上述变换重整化了耦合系数和参数值。
其中，约定 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math> 表示属于超节点 <math>i_{\ell+1}</math> 的节点。上述变换重整化了耦合系数和参数值。