更改

<math>p_{ij}(t+s)=\sum_{k\in S}p_{ik}(t)p_{kj}(s),i,j\in S</math>

<math>p_{ij}(t+s)=\sum_{k\in S}p_{ik}(t)p_{kj}(s),i,j\in S</math>

我们将右边称为前，把左边称为后，在上式两边对后面的<math>t=0</math>求导数，形式上得到<math>p'_{ij}(s)=\sum_{k\in S}q_{ik}p_{kj}(s)</math>写成矩阵形式得到<math>P'(s)=QP(s)</math>，我们上面这两个式子称作CTMC的'''向后方程'''。

我们将右边称为前，把左边称为后，在上式两边对后面的<math>t=0</math>求导数，形式上得到

同样可以对Chapman-Kolmogorov方程前面的<math>s=0</math>求导数，形式上得到：<math>p'_{ij}(t)=\sum_{k\in S}p_{ik}(t)q_{kj}</math>写成矩阵形式得到<math>P'(t)=P(t)Q</math>，这两个式子称作CTMC的'''向前方程'''。向前方程和向后方程统称为'''Kolmogorov方程'''。

 

 

同样可以对Chapman-Kolmogorov方程前面的<math>s=0</math>求导数，形式上得到：

 

<math>

dp_{ij}(t)/dt=\sum_{k\in S}p_{ik}(t)q_{kj}

</math>

 

写成矩阵形式得到

<math>

\frac{dP(t)}{dt}=P(t)Q

</math>

 

这两个式子称作CTMC的'''向前方程'''。

 

向前方程和向后方程统称为'''Kolmogorov方程'''。