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第780行： − 在介绍随机动力学之前，我们需要从另一个视角来讨论马尔科夫链的【状态分布】。+ 第816行：
第816行： − + − 首先，我们定义随机集（Random Set）：一个随机集 A 是一个映射 A: Ω → 2^X，其中 2^X 是 X 的所有子集的集合。+ − + − + − * 在有限状态MC中，此条件自动满足，因为 X 的任何子集都是有限的，因而是紧的。 − + − + − + − + − + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→稳态分布下的随机动力学划分
==稳态分布下的随机动力学划分==
==稳态分布下的随机动力学划分==
在介绍随机动力学之前，我们需要从另一个视角来讨论马尔科夫链的 '''状态分布'''。
我们让一个马尔科夫链的实例，从一个初始状态出发，经过了 <math>t</math> 步的演化（根据TPM的随机选择）之后，它仍然一个确定的状态，而不是一个分布。就像一个粒子在系统里流动，在 <math>t</math> 步以后，它仍然是一个处于某个节点的粒子，而不是分裂成了n个散落在各个节点上的部分。
我们让一个马尔科夫链的实例，从一个初始状态出发，经过了 <math>t</math> 步的演化（根据TPM的随机选择）之后，它仍然一个确定的状态，而不是一个分布。就像一个粒子在系统里流动，在 <math>t</math> 步以后，它仍然是一个处于某个节点的粒子，而不是分裂成了n个散落在各个节点上的部分。
至此，我们已经将马尔科夫链严格定义为了一个随机动力系统 <math>(\theta, \phi)</math>了。我们能够定义该系统的 不变性（Invariance），由此定义其 '''吸引性（Attraction）'''和 '''随机吸引子（Attractor）'''。
至此，我们已经将马尔科夫链严格定义为了一个随机动力系统 <math>(\theta, \phi)</math>了。通过定义该系统的 '''不变性（Invariance）'''，我们能定义其 '''吸引性（Attraction）'''和 '''随机吸引子（Attractor）'''。
首先，我们定义'''随机集（Random Set）'''：一个随机集 <math>A</math> 是一个映射 <math>A: Ω → 2^X</math>，其中 <math>2^X</math> 是 <math>X</math> 的所有子集的集合。也就是把一个随机动力学过程映射到了集合空间上的若干个状态。
一个随机集 A(ω) 被称为一个（全局）'''随机吸引子（Random Attractor）'''，如果它满足以下三个条件：
一个随机集 <math>A(\omega)</math> 被称为一个（全局）'''随机吸引子（Random Attractor）'''，如果它满足以下三个条件：
'''1. 紧致性 (Compactness)'''：对于几乎所有 ω ∈ Ω，A(ω) 都是 X 中的一个非空紧集。
'''1. 紧致性 (Compactness)'''：对于几乎所有 <math>\omega \in \Omega</math>，<math>A(\omega)</math> 都是 <math>X</math> 中的一个非空紧集。在有限状态马尔科夫链中，此条件自动满足。
'''2. 不变性 (Invariance)'''：A 在动力学下保持自身结构。对于几乎所有 ω ∈ Ω，Φ(1, ω, A(ω)) = A(θω)。它包含两个方向：
'''2. 不变性 (Invariance)'''：<math>A</math> 在动力学下保持自身结构。对于几乎所有 <math>\omega \in \Omega</math>，<math>(1, \omega, A(\omega)) = A(\theta \omega)</math>。它包含两个方向：
* '''前向不变性 (Forward Invariance)''': Φ(1, ω, A(ω)) ⊆ A(θω)。 在 ω 噪音下，位于 A(ω) 的点，经过一步演化后，必然会落在 θω 噪音下的 A(θω) 内部。点无法从吸引子结构中“逃逸”。
* '''前向不变性 (Forward Invariance)''' <math>(1, \omega, A(\omega)) ⊆ A(\theta \omega)</math>：在 <math>\omega</math> 噪音下，位于 <math>A(\omega)</math> 的点，经过一步演化后，必然会落在 <math>\theta \omega</math> 噪音下的 <math>A(\theta \omega) </math> 内部。换而言之，点无法从吸引子结构中“逃逸”。
* '''后向不变性 (Backward Invariance / Surjectivity)''': Φ(1, ω, A(ω)) ⊇ A(θω)。 在 θω 噪音下的吸引子 A(θω) 中的任何一个点，都必然是从 ω 噪音下的 A(ω) 中的某个点演化而来的。结构不会凭空产生点，它是“满的”。
* '''后向不变性 (Backward Invariance / Surjectivity)''' <math>(1, \omega, A(\omega)) ⊇ A(\theta \omega)</math>：在 <math>\theta \omega</math> 噪音下的吸引子 <math>A(\theta \omega) </math> 中的任何一个点，都必然是从 <math>\omega</math> 噪音下的 <math>A(\omega)</math> 中的某个点演化而来的。结构不会凭空产生点，它是“满的”。
'''3. 吸引性 (Pullback Attraction）'''： A 吸引系统中的其他点。
'''3. 吸引性 (Pullback Attraction）'''：<math>A</math> 吸引系统中的其他点。
* 对 <math>X</math> 的任何一个固定的、非空的子集 B ⊂ X，我们有：lim_{k→∞} dist_H(Φ(k, θ⁻ᵏω, B), A(ω)) = 0。其中，dist_H 是豪斯多夫距离 (Hausdorff distance)，用于衡量两个集合的相似度。
* 对 <math>X</math> 的任何一个固定的、非空的子集 <math>B ⊂ X</math>，我们有：<math>lim_{k \to ∞} dist_H (\phi (k, \theta^{-k} \omega, B), A(\omega)) = 0</math>。其中，<math>dist_H</math> 是豪斯多夫距离 (Hausdorff distance)，用于衡量两个集合的相似度。
* 这个公式的含义是，想象我们在遥远的过去（时间 -k）开始演化一个集合 B。噪音路径是 θ⁻ᵏω（即把当前噪音路径向过去回溯 k 步）。我们让它演化 k 步到达现在。当 k 趋于无穷大时，无论 B 最初是什么，它演化的结果都会在形状上收敛到我们当前的吸引子 A(ω)。
* 这个公式的含义是，想象我们在遥远的过去（时间<math>=-k</math>）开始演化一个集合 <math>B</math>。噪音路径是 <math>\theta^{-k} \omega</math>（即把当前噪音路径向过去回溯 <math>k</math> 步）。我们让它演化 <math>k</math> 步到达现在。当 <math>k</math> 趋于无穷大时，无论最初的 <math>B</math> 最初是什么，它演化的结果都会在形状上收敛到我们当前的吸引子 <math>A(\omega)</math>。
至此，我们已经完成了随机动力学中随机吸引子在稳态马尔科夫链中的介绍。现在就可以分析一个马尔科夫链中有多少个吸引子和对应的分组了。
===稳态马尔科夫链中的吸引子和分组===
我们考虑马尔科夫链的以下三种情况：
'''情况1：不可约、非周期的马尔科夫链'''
吸引子: 存在唯一的全局随机吸引子 <math>A(\omega)</math>，但它是一个平凡吸引子：<math>A(\omega) = X for all \omega</math>
验证过程如下：
* '''不变性''': <math>\phi(1, \omega, X) = X = A(\theta \omega)</math>（整个空间映到自身）
* '''吸引性''': 由于不可约和非周期性，从任何子集 <math>B</math> 出发，经过足够多步，其后代会遍布整个 <math>X</math>。所以 <math>lim_{k→∞} Φ(k, ..., B) = X</math>。
* '''稳态分布''': 唯一的平稳分布 <math>\pi</math> 是定义在吸引子 <math>A=X</math> 上的不变测度。它描述了系统在吸引子内部不同区域（状态）停留时间的相对频率。
'''情况2：可约的马尔科夫链'''
设 <math>S = T ∪ R_1 ∪ ... ∪ R_m </math>，其中 <math>T</math> 是滑过态（Transiant）集，<math>R_i</math> 是闭合常返（Recurrent）类。
吸引子: 系统有 <math>m</math> 个确定性吸引子 <math>A_i = R_i</math>。
验证过程如下：
* '''不变性'''：如果 <math>x \in R_i</math>，则 <math>\phi(1, \omega, x) \in R_i</math>。所以 <math>\phi(1, \omega, R_i) = R_i</math>。
* '''吸引随机性'''：吸引随机性体现在系统最终会掉入哪个吸引子。我们可以定义一个依赖于噪音的吸引子 <math>A(\omega)</math>，它表示从某个初始状态 <math>x</math> 出发，最终进入的那个 <math>R_i</math>。<math>A(\omega)</math> 是一个随机变量，其取值范围是 <math>{R_1, ..., R_m}</math>。
* '''稳态分布'''：存在多个平稳分布，每个 <math>\pi_i</math> 的支撑集都在一个吸引子 <math>R_i</math> 上。
'''情况3：不可约、周期为 d > 1 的马尔科夫链'''
设状态空间分解为周期子类 <math>X = C_0 ∪ C_1 ∪ ... ∪ C_{d-1}</math>。
这时存在非平凡的随机吸引子 <math>A(\omega)</math>：如果 <math>\phi(k, \omega, x_0)</math> 处于子类 <math>C_j</math> 中，那么 <math>A(\theta^k \omega) = C_j</math>。
验证过程如下：
* '''不变性'''：假设在 <math>\omega</math> 下 <math>A(\omega) = C_j</math>。根据周期性，<math>(1, \omega, C_j) = C_{(j+1) mod d}</math>。而此时新的噪音是 <math>\theta \omega</math>，其对应的吸引子形态正是 <math>A(\theta \omega) = C_{(j+1) mod d}</math>。因此 <math>\phi(1, \omega, A(\omega)) = A(\theta \omega)</math> 成立。
* '''稳态分布'''：唯一的平稳分布 <math>\pi</math> 描述了在整个循环周期内，系统在每个状态的平均访问频率。尽管在任何时刻 <math>k</math>，概率分布都集中在某一个 <math>C_j</math> 上，但时间平均后会收敛到 <math>\pi_i</math>。
=划分方法=
=划分方法=