812
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第191行：
第191行： − + 第217行：
第217行： − 对于一个马尔科夫链，有些分组是成块的，有些分组是不成块的。这里用一个简单的例子提供正例和反例。+ + + 第234行：
第236行： − + − − − − 第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math> − − 第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p_{A_1 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_4} = 0.1 </math> − − 第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_1} = p_{A_2 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_1} + p_{s_4 \rightarrow s_2} + p_{s_4 \rightarrow s_3} = 0.1 \times 3 = 0.3 </math> − − 第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math> − 第257行：
第248行： − 而反例就是<math>\{\{s_1,s_2\}, \{s_3,s_4\}\}</math>。+ − − − '''请注意'''：成块性有一个非常重要的前提：我们需要给定一个对马尔科夫链的状态划分，然后根据马尔科夫状态转移矩阵来判断这个划分对这个马尔科夫链是否成块。 − 所以，成块性并不是一个马尔科夫链本身的属性，而是对马尔科夫链的某个状态划分的属性。直接说某个马尔科夫链成块或是不成块是不严谨的。相反，我们应该说，对于某个马尔科夫链的某个状态划分是成块或不成块的。然而，为了简略表达，当我们说某个马尔科夫链成块时，我们通常是指它存在某种成块的状态划分。 − − 这一前提也提醒我们，在讨论成块性时，必须明确状态划分的方式。不同的划分方式可能导致不同的结论。一个马尔科夫链可能在某种划分下是成块的，而在另一种划分下则不成块。因此，成块性更多地反映了状态划分与马尔科夫链的适配性，而不是马尔科夫链本身的特性。 − − <br/> 第276行：
第259行： − − 具体来说，只需要知道宏观状态<math>A^{(t)}</math>，就可以最大化<math>A^{(t+1)}</math>的预测效果，而微观状态<math>s^{(t+1)}</math>虽然能提供一些额外信息，但是对于预测<math>A^{(t+1)}</math>并无帮助。这意味着条件互信息<math>I(A^{(t+1)}; s^{(t+1)} | A^{(t)}) = 0</math>。宏观动力学不需要任何来自微观状态的修正，就能独立且正确地反映系统在宏观层面上的演化。 − − 如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：无论从哪个微观状态分布出发，走这两条路径得到的<math>A^{(t+1)}</math>的分布是一样的，即，'''<math>s^{(t)} \Phi P' = s^{(t)} P \Phi</math>'''。
→成块性
[[文件:成块性充分必要条件.png|缩略图|500像素|成块性充分必要条件实例]]
[[文件:成块性充分必要条件.png|缩略图|600像素|成块性充分必要条件实例]]
满足这个条件后，我们就可以将<math>A_j</math>中的所有微观状态<math>s_l</math>合并为一个宏观状态<math>A_j</math>，因为它们从其他宏观状态的转入概率是一致的。同样的，我们也可以将<math>A_i</math>中的所有微观状态<math>s_k</math>合并为一个宏观状态<math>A_i</math>，因为这些微观状态<math>s_k</math>（和<math>A_i</math>）到其他宏观状态的转出概率是一致的。
满足这个条件后，我们就可以将<math>A_j</math>中的所有微观状态<math>s_l</math>合并为一个宏观状态<math>A_j</math>，因为它们从其他宏观状态的转入概率是一致的。同样的，我们也可以将<math>A_i</math>中的所有微观状态<math>s_k</math>合并为一个宏观状态<math>A_i</math>，因为这些微观状态<math>s_k</math>（和<math>A_i</math>）到其他宏观状态的转出概率是一致的。
其中，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，其逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。
其中，<math>\Phi^T \Phi</math>是一个对角阵，对角线上的元素为每个<math>A_i</math>包括了多少个微观状态的计数，其逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。
在讨论成块性时，必须明确状态划分的方式。不同的划分方式可能导致不同的结论。一个马尔科夫链可能在某种划分下是成块的，而在另一种划分下则不成块。这里用一个简单的例子提供正例和反例。
我们用到的是这样一个转移矩阵：
我们用到的是这样一个转移矩阵：
</math>
</math>
我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们 <math>\{s_1, s_2, s_3\}</math> 分在一组 <math>A_1</math>，并把状态 <math>s_4</math> 分在另外一组 <math>A_2</math>。这个分组 <math>\{\{s_1,s_2，s_3\}, \{s_4\}\}</math> 中每一个属于 <math>A_i</math> 的状态 <math>s_k</math> 的 <math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math> 都是一样的，而这个分组对应的宏观转移矩阵为
我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们<math>\{s_1, s_2, s_3\}</math>分在一组<math>A_1</math>，并把状态<math>s_4</math>分在另外一组<math>A_2</math>，看起来像是一个合理的正例。接下来我们来计算一下。
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
</math>
</math>
而反例就是分组 <math>\{\{s_1,s_2\}, \{s_3,s_4\}\}</math>，并不满足成块性的条件定义。
===成块性的主要性质===
===成块性的主要性质===
宏观最大预测性是指，在将微观状态粗粒化为宏观状态后，我们就不再需要微观状态，只用宏观状态就能预测后续的宏观状态。
宏观最大预测性是指，在将微观状态粗粒化为宏观状态后，我们就不再需要微观状态，只用宏观状态就能预测后续的宏观状态。
尽管成块性划分能够准确预测宏观动力学，但它无法确保像[[计算力学]]中的因果态那样的微观最大预测性。因为在聚类过程中会损失微观状态的信息，使得我们无法辨别某个<math>A^{(t)}</math>具体是哪个微观态<math>s^{(t)}</math>。这个信息的损失是不可逆的，所以从微观粗粒化到宏观之后，就无法再还原到微观了。
尽管成块性划分能够准确预测宏观动力学，但它无法确保像[[计算力学]]中的因果态那样的微观最大预测性。因为在聚类过程中会损失微观状态的信息，使得我们无法辨别某个<math>A^{(t)}</math>具体是哪个微观态<math>s^{(t)}</math>。这个信息的损失是不可逆的，所以从微观粗粒化到宏观之后，就无法再还原到微观了。
====成块划分和粗粒化的可交换性====
====成块划分和粗粒化的可交换性====
我们在[[马尔科夫链的成块性]]中推导了结论：'''基于成块性划分的粗粒化方法满足粗粒化和动力学这两个算子的可交换性。'''
我们在[[马尔科夫链的成块性]]中推导了结论：'''基于成块性划分的粗粒化方法满足粗粒化和动力学这两个算子的可交换性。'''