更改

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是特征值为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman特征函数。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个特征值和特征函数，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些特征函数不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的特征值。

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是特征值为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman特征函数。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个特征值和特征函数，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些特征函数不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的特征值。在一般的动力系统中，Koopman算子的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构.在傅立叶平均里，离散谱意味着有限的几个特征函数不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而连续谱意味着在极限下特征函数几乎处处为0，此时往往对应的是混沌的性质，能量比较弥散不集中。

====应用案例：标准映射====

====应用案例：标准映射====