更改

  </math>，再对演化后的状态进行观测”；<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅通过流映射<math> F^t </math> 改变观测函数的输入（状态），从而实现观测函数的“被动演化”。  

  </math>，再对演化后的状态进行观测”；<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅通过流映射<math> F^t </math> 改变观测函数的输入（状态），从而实现观测函数的“被动演化”。  

对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（Lie算子，详细见下面与其他算子的关系-Lie算子）描述，定义为：

 

对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>描述，定义为：

<math> \mathcal{L} g = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t g - g}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g \circ F^t - g}{t} </math>  

<math> \mathcal{L} g = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t g - g}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g \circ F^t - g}{t} </math>  

<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>  

<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>  

式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1 </math>，<math> \frac{\partial g}{\partial x_2 </math>， <math> \dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。  

式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math>，  ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。  

连续Koopman算子有如下特性：

连续Koopman算子有如下特性：