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第18行： − 设离散时间自治动力系统的状态演化满足： + 第32行：
第32行： − 离散Koopman算子有如下特性：+ 第38行：
第38行： − + − 连续时间场景适用于状态演化由常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。 + − 设连续时间自治动力系统的状态演化满足： + 第68行：
第68行： − 连续Koopman算子有如下特性：+ 第74行：
第74行： − +
→Koopman算子定义
离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。
离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。
设离散时间自治动力系统的状态演化满足<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：
<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>
<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>
式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数（输入）； <math> F(x) </math>是离散流映射，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。
式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数（输入）； <math> F(x) </math>是离散流映射，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。
离散Koopman算子有如下特性<ref name="brunton_2022" />：
1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；
1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；
3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> ，即特征函数的演化仅需乘以特征值的 m 次幂——这是离散时间下线性化分析的核心。
3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> ，即特征函数的演化仅需乘以特征值的 m 次幂——这是离散时间下线性化分析的核心（详细过程见下文Koopman模式分解）。
==时间连续==
==时间连续==
连续时间场景适用于状态演化由[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。
设连续时间自治动力系统的状态演化满足<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：
<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in X </math>
<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in X </math>
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。
连续Koopman算子有如下特性<ref name="brunton_2022" />：
1. 线性性：对任意观测函数 <math> g_1, g_2 \in \mathcal{G}(X) </math>和常数<math> \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{C} </math> ，满足： <math> \mathcal{K}^t (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K}^t g_1 + \alpha_2 \mathcal{K}^t g_2 </math>生成元<math> \mathcal{L} </math> 同样满足线性性；
1. 线性性：对任意观测函数 <math> g_1, g_2 \in \mathcal{G}(X) </math>和常数<math> \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{C} </math> ，满足： <math> \mathcal{K}^t (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K}^t g_1 + \alpha_2 \mathcal{K}^t g_2 </math>生成元<math> \mathcal{L} </math> 同样满足线性性；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{t+s} = \mathcal{K}^t \circ \mathcal{K}^s </math>（先演化 <math> s </math> 再演化 <math> t </math>，等价于直接演化 <math> t+s </math>；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{t+s} = \mathcal{K}^t \circ \mathcal{K}^s </math>（先演化 <math> s </math> 再演化 <math> t </math>，等价于直接演化 <math> t+s </math>；
3. 与Koopman特征函数的关系：若<math> \varphi </math> 是 <math> \mathcal{L} </math>的特征函数（满足<math> \mathcal{L} \varphi = \mu \varphi </math> ，则 <math> \mathcal{K}^t \varphi = e^{\mu t} \varphi </math>，即 <math> \varphi </math> 也是 <math> \mathcal{K}^t </math>的特征函数，特征值 <math> \lambda = e^{\mu t} </math>。
3. 与Koopman特征函数的关系：若<math> \varphi </math> 是 <math> \mathcal{L} </math>的特征函数（满足<math> \mathcal{L} \varphi = \mu \varphi </math> ，则 <math> \mathcal{K}^t \varphi = e^{\mu t} \varphi </math>，即 <math> \varphi </math> 也是 <math> \mathcal{K}^t </math>的特征函数，特征值 <math> \lambda = e^{\mu t} </math>（详细过程见下文Koopman模式分解）。
=Koopman模式分解=
=Koopman模式分解=