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→残差DMD
==残差DMD==
==残差DMD==
对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：
<math>r_i(x) = \mathcal{K}\phi_i(x) - \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x)</math>
EDMD 的优化目标是最小化残差的加权 <math>L^2</math>范数（Modern 中数值近似场景的标准目标）：
<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。
==核DMD==
==核DMD==