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ResDMD计算无谱污染的特征对算法：从快照数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。

ResDMD计算无谱污染的特征对算法：从快照数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。

输入：

输入：

快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M<math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M<math>（下一时刻状态）

快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）

积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M<math>（用于数值积分近似）

积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）

观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}<math>（刻画系统状态的观测函数集合）

观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）

精度目标：<math>epsilon>0<math>（残差阈值）

精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）

输出：

输出：

准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j<math>为特征值，<math>g_j<math>为近似特征函数）

准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）

算法过程：

算法过程：

1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X<math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y<math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y<math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y<math>为字典在<math>x/y<math>上的取值矩阵，<math>W<math>为权重对角矩阵）。

1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

2. 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g<math>，得到候选特征对。

2. 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。

3. 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)<math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。

3. 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。

4. 丢弃残差大于<math>\epsilon<math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。

4. 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。

核心用处：

核心用处：

适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。

适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。

ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon<math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。

ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。

输入：

输入：

快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M<math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M<math>（下一时刻状态）

快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）

积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M<math>（用于数值积分近似）

积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）

观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}<math>（刻画系统状态的观测函数集合）

观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）

精度目标：<math>epsilon>0<math>（残差阈值）

精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）

复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}<math>（待评估的谱区域网格点）

复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）

输出

输出

<math>\epsilon$-伪谱估计：$\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}<math>（<math>\tau_j<math>为网格点$z_j$的最小残差）

<math>\epsilon</math>-伪谱估计：<math>\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（<math>\tau_j</math>为网格点<math>z_j</math>的最小残差）

近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}<math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon<math>-近似特征函数）

近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon</math>-近似特征函数）

算法过程

算法过程

1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X<math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y<math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y<math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y<math>为字典在<math>x/y<math>上的取值矩阵，<math>W<math>为权重对角矩阵）。

1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

2. 对每个网格点<math>z_j<math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)<math>（转化为广义SVD问题）。

2. 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义SVD问题）。

3. 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon<math>的网格点，构成<math>\epsilon<math>-伪谱。

3. 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。

核心用处：

核心用处：