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第479行： − 高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，其典型形式为<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。 +
→算法
输入：
输入：
* 快照数据：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
* 快照数据：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
* 积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
* 积分权重：<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
* 观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
* 观测字典：<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
* 精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）
* 精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）
输出：
输出：
* 准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）
* 准确特征对集合：<math>\{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）
算法过程：
算法过程：
* 提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染。
* 提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染。
* 适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
* 适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
输入：
输入：
* 快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
* 快照数据：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
* 积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似） 观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
* 积分权重：<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）
* 观测字典：<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
* 复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）
* 复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）
本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。
本实验通过高斯迭代映射，证明 ResDMD 在处理复杂非线性动力学时的普适性，为后续高维系统的谱分析奠定方法基础。
高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。
实验采用的高斯迭代映射定义为：
实验采用的高斯迭代映射定义为：