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→随机动力系统
<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>
<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>
其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间；<math> \mathbb{E}_x \left[ \right] </math>为条件期望算子，下标表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算；<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现）；<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。
其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间；<math> \mathbb{E}_x </math>为条件期望算子，下标表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算；<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现）；<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。
公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。
公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。