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第826行：
第826行： − 文章首先从一个基本的假设开始：城市的增长受到可用资源及其消耗速度的制约。作者提出，资源 [math]Y[/math] 被用于两个主要方面：维持现有的人口和促使新的人口增长。+ − 1. 资源被分配来维持人口和增加新人口。这个关系被表达为：[math]Y = RN + E(\frac{dN}{dt})[/math]+ − + + + 第839行：
第841行： − + + + + + + + + + + + + + + + + + − + − 这个生长方程的解会根据缩放指数 [math]\beta[/math] 的值呈现出亚线性、线性、超线性三种截然不同的增长模式，其中城市属于超线性增长， [math]\beta > 1[/math]。城市人口的增长是无限制的，并将在一个有限的时间内达到“奇点”（Singularity），即城市规模的增长速度比指数增长还要快。这反映了城市独特的自催化（autocatalytic）性质，即城市规模的扩大能通过创新和社交互动等过程进一步加速自身的增长。 − 当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse）。尽管城市最初可能呈现超线性增长，但由于资源的限制，这种快速增长最终会达到一个临界点，并迅速崩溃，这一点即为[[奇点]]。这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。
→城市生长方程
* [math]E[/math]：增加一个新个体所需的平均资源量。
* [math]E[/math]：增加一个新个体所需的平均资源量。
这个方程是如何得到的呢？
Bettencourt等人首先从一个基本的假设开始：城市的增长受到可用资源及其消耗速度的制约，其中资源 [math]Y[/math] 被用于两个主要方面：一是维持现有的人口生存，二是促使新的人口增长。
* [math]RN[/math] 代表维持现有 [math]N[/math] 个个体所需的资源总量，其中 [math]R[/math] 是维持每个个体所需的资源量。
1. 资源被分配来维持人口生存和增加新人口。这个关系被表达为：[math]Y = RN + E(\frac{dN}{dt})[/math]
* [math]RN[/math] 代表维持现有 [math]N[/math] 个个体生存所需的资源总量，其中 [math]R[/math] 是维持每个个体所需的资源量。
* [math]E(\frac{dN}{dt})[/math] 代表增加新人口所需的资源总量，其中 [math]E[/math] 是增加一个新个体所需的资源量，[math]\frac{dN}{dt}[/math] 是人口增长率。
* [math]E(\frac{dN}{dt})[/math] 代表增加新人口所需的资源总量，其中 [math]E[/math] 是增加一个新个体所需的资源量，[math]\frac{dN}{dt}[/math] 是人口增长率。
4. 最后，对这个方程进行重新整理，解出人口增长率 [math]\frac{dN}{dt}[/math]，从而得到最终的城市生长方程：[math]\frac{dN(t)}{dt} = \frac{Y_{0}N(t)^{\beta} - RN(t)}{E} = (\frac{Y_{0}}{E})N(t)^{\beta} - (\frac{R}{E})N(t)[/math]，即({{EquationNote|12}})式
4. 最后，对这个方程进行重新整理，解出人口增长率 [math]\frac{dN}{dt}[/math]，从而得到最终的城市生长方程：[math]\frac{dN(t)}{dt} = \frac{Y_{0}N(t)^{\beta} - RN(t)}{E} = (\frac{Y_{0}}{E})N(t)^{\beta} - (\frac{R}{E})N(t)[/math]，即({{EquationNote|12}})式
该生长方程的解析解为：[math]N(t) = [\frac{Y_{0}}{R} + (N^{1-\beta}(0) - \frac{Y_{0}}{R})exp[-\frac{R}{E}(1-\beta)t]]^{\frac{1}{1-\beta}}[/math]
该生长方程的解析解为：
:<math>
N(t) = \left\{\frac{Y_{0}}{R} + \left[N^{1-\beta}(0) - \frac{Y_{0}}{R}\right]\cdot\exp\left[-\frac{R}{E}(1-\beta)t\right]\right\}^{\frac{1}{1-\beta}}
</math>
* [math]N(0)[/math]：为第0期的人口规模，即初始人口规模。
这个生长方程的解的缩放指数 [math]\beta > 1[/math]，因此会导致城市人口的增长是无限制的，并将在一个有限的时间内达到“奇点”（Singularity），即城市规模的增长速度比指数增长还要快。这反映了城市独特的自催化（autocatalytic）性质，即城市规模的扩大能通过创新和社交互动等过程进一步加速自身的增长。
其次，该方程可以根据[math]N(0)[/math]的取值，而分成两种情况：
* 当[math]N(0)<N^*=...[/math]时：
当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse），此时的生长曲线呈现如下形式：
这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。
* [math]N(0)[/math]：初始人口规模。
* 当[math]N(0)>N^*=...[/math]时
=== 城市与生物的区别 ===
=== 城市与生物的区别 ===