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→分阶段超指数增长曲线
我们可以考察纽约或伦敦的真实城市增长曲线以和该理论预测相比较。
我们可以考察纽约或伦敦的真实城市增长曲线以和该理论预测相比较。
Bettencourt的论文<ref name=":3" />通过'''纽约市'''的人口相对增长率随时间变化的观测数据，为上述理论提供量化支持。
Bettencourt的论文<ref name=":3" />通过'''纽约市'''的人口相对增长率随时间变化的观测数据，为上述理论提供量化的实证数据支持（如下图）。
[[文件:The relative population growth rate of NYC.png|无框|600x600像素]]
注意该图绘制的并不是人口随时间变化的曲线，而是人口生长率随时间变化的曲线，因而该图与分阶段超指数增长曲线本质上是一致的。
从该图，我们可以得到以下结论：
* 纽约市的相对人口增长率图显示出连续的、加速的（超指数）增长时期。这些超指数增长期被短暂的减速期分隔开来。这种连续加速增长的模式与理论预测的“成功接续的超线性创新周期会重置奇点并推迟不稳定性和随后的崩溃”的机制相符。
* 纽约市的相对人口增长率图显示出连续的、加速的（超指数）增长时期。这些超指数增长期被短暂的减速期分隔开来。这种连续加速增长的模式与理论预测的“成功接续的超线性创新周期会重置奇点并推迟不稳定性和随后的崩溃”的机制相符。
* 奇点时间 [math]t_c[/math] 的拟合：针对纽约市不同增长周期起始时的人口 [math]N(0)[/math] 与预测的崩溃时间 [math]t_c[/math] 的关系进行拟合，结果与预测吻合良好。观测数据最佳拟合的 [math]\beta[/math] 值为 [math]\beta \approx 1.09[/math]。
* 奇点时间 [math]t_c[/math] 的拟合：针对纽约市不同增长周期起始时的人口 [math]N(0)[/math] 与预测的崩溃时间 [math]t_c[/math] 的关系进行拟合，结果与预测吻合良好。观测数据最佳拟合的 [math]\beta[/math] 值为 [math]\beta \approx 1.09[/math]，这与美国城市的幂指数[math]\beta\approx 1.15[/math]接近。
[[文件:The relative population growth rate of NYC.png|无框|600x600像素]]
====不可回避的奇点====
====不可回避的奇点====