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→基于神经网络的DMD
==基于神经网络的DMD==
==基于神经网络的DMD==
尽管 Koopman 嵌入前景广阔，但获得易于处理的表示仍然是一个核心挑战。即使对于相对简单的动力系统，Koopman 算子的特征函数也可能任意复杂，并且在有限基中只能被近似地表示。深度学习非常适合表示这种任意复杂的函数，并且最近在发现和表示 Koopman 嵌入以及 Koopman 预测方面显示出了巨大的潜力<ref>444, 274, 422, 457, 330, 242, 255, 273, 20, 232, 118</ref>。除了利用神经网络来学习 Koopman 嵌入之外，Koopman 理论也被应用于理解神经网络<ref>272, 104</ref>以及更广泛的算法<ref>103</ref>。
目前主要有两种用于 Koopman 嵌入的深度神经网络（DNN）架构，如图 5.2 所示。在第一种架构中，深度自动编码器架构提取几个关键的潜在变量 <math>\mathbf{z} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x})</math> 来参数化动力学。在第二种架构中，高维输入数据被提升到更高的维度，在该维度下演化近似为线性的。在这两种 Koopman 神经网络中，都强制执行了一个额外的约束，即在这些潜在变量上的动力学必须是线性的，由矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 给出。线性动力学的约束通过损失函数 <math>\|\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_{k+1}) - \mathbf{K}\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_k)\|</math> 来强制执行，其中 <math>\mathbf{K}</math> 是一个矩阵。通常，线性度是在多个时间步长上强制执行的，因此会有额外的项 <math>\|\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_{k+p}) - \mathbf{K}^p\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}_k)\|</math> 被添加到损失函数中。
==时间延迟DMD==
==时间延迟DMD==