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|{{EquationRef|1}}}}

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其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>。

其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N(t) = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有

<math>N ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N (t)</math>,

<math>N ^ {\prime}_{(t)} = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N_{(t)}</math>,

即任何形如<math>N(t) = C\mathrm{e}^{kt}</math>的指数函数都是方程的解．

即任何形如<math>N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}</math>的指数函数都是方程的解．

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N(t) = Ce^{kt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值N(0)。

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N_{(t)} = Ce^{kt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值N(0)。

然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。

然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。

其中：

其中：

* N(t): 在时间t时的种群规模；

* <math>N_{(t)}</math>: 在时间t时的种群规模；

* r: 内禀增长率，表示在理想条件下种群的最大增长潜力；

* r: 内禀增长率，表示在理想条件下种群的最大增长潜力；

* K: 环境承载力，即环境所能支持的最大种群规模；

* K: 环境承载力，即环境所能支持的最大种群规模；

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

N(t) = \frac{K}{1+(\frac{K-N_0}{N_0})e^{-rt}}

N_{(t)} = \frac{K}{1+(\frac{K-N_0}{N_0})e^{-rt}}

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

|{{EquationRef|3}}}}或者等价形式：<math>N(t) = \frac{K}{1 + C K e^{-rt}}</math>

|{{EquationRef|3}}}}或者等价形式：<math>N_{(t)} = \frac{K}{1 + C K e^{-rt}}</math>

其中<math>C = \frac{1}{N_0} - \frac{1}{K}</math>是由初始条件决定的常数。

其中<math>C = \frac{1}{N_0} - \frac{1}{K}</math>是由初始条件决定的常数。