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第1,793行： + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − [[吴令飞]]、[[张江]]等人将百度贴吧论坛视为“虚拟生命体”，提出在线社区的增长与用户行为遵循类似生物代谢的幂律规律。以百度贴吧三万个论坛为样本，研究发现在t时刻，某一贴吧的页面浏览量[math]PV_t[/math]与它的独立访客数 [math]UV_t[/math] 之间存在稳定关系：+ 第1,805行：
第1,831行： − + + + + + + + − 作者进一步推导出平均每个独立访客所访问的页面数，也就是该访客来到该贴吧后平均浏览的长度为： + − + − − 这种规模效应的产生源于用户之间的非线性相互作用。试想，假如用户来到贴吧后没有任何的交互，彼此独立地访问，则可以预期每个用户的平均访问页面次数是一个独立的随机数，该随机数有着固定的均值和方差。那么，在统计了大量用户以后，根据大数定律，这个平均访问长度就是一个与规模无关的常数，也就是说[math]PV[/math]与[math]UV[/math]呈现线性关系。而如果用户彼此之间有相互作用，A用户的访问行为会影响B，反之亦然。那么，随着用户越来越多，它们彼此的交互行为也就越来越多，这就体现为平均浏览长度随着规模的增长而增长的效应。这种非线性效应就可以用参数[math]\theta[/math]来体现。因此，作者认为[math]\theta[/math] 可作为某贴吧的长期稳定的“'''粘性指标'''”（Stickness）<ref name=":14" />。实证结果显示，86% 的论坛符合此规律，平均 [math]\theta=1.06[/math]（标准差 0.10），约 82% 的论坛为高粘性社区。
→在线社区的规模法则
模型模拟表明，在特定参数区域，网络自发满足<ref name=":18" />：[math]E(t)\propto N(t)^{a}[/math]，其中，[math]1<a<2[/math]，且[math]D_{\text{eff}}(t)[/math]会随着[math]N(t)[/math]的增长而下降。即该模型同时复现了[[超线性致密化]]与[[直径收缩]]。这一过程存在着相变现象：当 [math] p_f[/math] 过小，则网络连边稀疏；而如果其过大，则连接会迅速饱和；因此，仅在[math]p_f[/math]的临界区域产生现实网络的拓扑特征。
模型模拟表明，在特定参数区域，网络自发满足<ref name=":18" />：[math]E(t)\propto N(t)^{a}[/math]，其中，[math]1<a<2[/math]，且[math]D_{\text{eff}}(t)[/math]会随着[math]N(t)[/math]的增长而下降。即该模型同时复现了[[超线性致密化]]与[[直径收缩]]。这一过程存在着相变现象：当 [math] p_f[/math] 过小，则网络连边稀疏；而如果其过大，则连接会迅速饱和；因此，仅在[math]p_f[/math]的临界区域产生现实网络的拓扑特征。
== 在线社区的规模法则 ==
== 在线社区的规模法则 ==
网络在线社区，包括网络论坛、贴吧、社交网站等是人们网络活动的主要载体之一。在在线社区中，人们通过写文章、分享、互相发表评论等行为形成了人与人（用户与用户）之间的互动。因此，网络在线社区可以看作是人类现实社区的虚拟世界投影，因此真实社区（城市）的一些规律，例如规模法则也适用于在线社区。
网络在线社区，包括网络论坛、贴吧、社交网站等是人们网络活动的主要载体之一。在在线社区中，人们通过写文章、分享、互相发表评论等行为形成了人与人（用户与用户）之间的互动。因此，网络在线社区可以看作是人类现实社区的虚拟世界投影，因此真实社区（城市）的一些规律，例如规模法则也适用于在线社区。
===用户活动的超线性规模法则===
2011年，[[吴令飞]]、[[张江]]在物理学评论E上发表文章<ref name="accelerating">{{cite journal|author1=Lingfei Wu|author2=Jiang Zhang|journal=Physical Review E|title=Accelerating growth and size-dependent distribution of human online activities|volume=84|page=026113|year=2011}}</ref>，揭示出一类网络在线社区的规模法则效应，特别指出了用户活动（包括发帖、发图、加Tag等）的[[超线性规模法则]]，即不同时刻的用户活动总量会随着社群中活跃用户数的增加而呈现[[超线性规模法则]]，即用户活动会比活跃用户增长得更快。
[[文件:Onlinecommunities.png|有框|无|四个不同的网络在线社区（包括图片分享与评论社区Flickr、分享与评论社区Delicious、类似微博类分享社区Jiwai，以及新闻类分享社区Digg）用户活动的超线性规模法则]]
如图，可以看出用户的活动总量（T，包括每一小时内的评论总量、加Tag的次数、分享总数等）与活跃用户数（P，即这个小时内的总的活动用户数量）二者之间服从如下规模法则：
:<math>
T\propto P^{\gamma}
</math>
其中[math]\gamma[/math]为幂律指数。对于这四个社区，[math]\gamma[/math]普遍大于1，但具体的数值不等。这说明，这些社区的用户活动普遍存在着超线性的规模法则。
这首先说明，用户活动会比用户规模增长得快，而且，幂指数越大，则活动数相对于用户数的增长速度越快。进一步，根据该等式，我们有：
:<math>
T/P\propto P^{\gamma-1}
</math>
由于[math]\gamma>1[/math]，所以[math]\gamma-1>0[/math]，所以，该式表明：平均每用户的活动数会随着规模的增长而增长，也就是说社区变得越大，平均每个用户的活动会更多，即社区的变大刺激了用户变得更加活跃。
这种规模效应的产生源于用户之间的非线性相互作用。试想，假如用户来到社区后没有任何的交互，彼此独立地访问，则可以预期每个用户的平均访问活动次数是一个独立的随机数，该随机数有着固定的均值和方差。那么，在统计了大量用户以后，根据大数定律，这个平均访问长度就是一个与规模无关的常数，也就是说[math]T[/math]与[math]P[/math]呈现线性关系；而如果用户彼此之间有相互作用，A用户的访问行为会影响B，反之亦然。那么，随着用户越来越多，它们彼此的交互行为也就越来越多，这就体现为平均浏览长度随着规模的增长而增长的效应。这种非线性效应就可以用幂指数[math]\gamma[/math]来体现。
进一步，两位作者将这一实证观察与另一种实证观察联系了起来，即每个小时内网络社区中不同用户所产生的活动是一个随机变量，该随机变量的分布曲线具有一种尺度依赖效应，也就是说该分布曲线会随着整个社区的增长（即用户量的增长）而增大，这一增大趋势与规模法则密切相关。该文章从数学上证明了，满足一定关系的尺度依赖分布能够推导出规模法则。
=== 百度贴吧的规模法则 ===
=== 百度贴吧的规模法则 ===
2014年，两位作者进一步将这一规模法则推广到更广泛的网络论坛的研究之中<ref name=":14">Wu, L., Zhang, J., & Zhao, M. (2014). The metabolism and growth of web forums. ''PLoS ONE'', ''9''(8). <nowiki>https://doi.org/10.1371/journal.pone.0102646</nowiki></ref>。他们研究的对象是将近30万个百度贴吧，每个贴吧都有一个相对固定的话题，并且贴吧的建立与凋零基本全部是自组织形成的。作者们将百度贴吧论坛视为“虚拟生命体”，提出在线社区的增长与用户行为遵循类似生物代谢的幂律规律。以百度贴吧三万个论坛为样本，研究发现在t时刻，某一贴吧的页面浏览量[math]PV_t[/math]与它的独立访客数 [math]UV_t[/math] 之间存在稳定关系：
:<math>
:<math>
</math>
</math>
其中[math]\theta[/math] 为幂律指数（allometric exponent）。当 [math]\theta>1[/math] 时，论坛增长呈超线性特征，访问量会比独立访客数更快地增长；若 [math]\theta<1[/math]，则为亚线性增长，访问页面数的增长慢于访客数的增长<ref name=":14">Wu, L., Zhang, J., & Zhao, M. (2014). The metabolism and growth of web forums. ''PLoS ONE'', ''9''(8). <nowiki>https://doi.org/10.1371/journal.pone.0102646</nowiki></ref>。
其中[math]\theta[/math] 为幂律指数（allometric exponent）。我们显然可以将[math]PV_t[/math]看作是活动数[math]T[/math]，而独立访客数看作是活跃用户数[math]P[/math]，因此这一规模法则是上述网络社区的活动的[[超线性规模法则]]的延展。然而，与前一研究不同的是，在30万个网络贴吧中，存在着幂指数小于1的情况。当 [math]\theta>1[/math] 时，论坛增长呈超线性特征，访问量会比独立访客数更快地增长；若 [math]\theta<1[/math]，则为亚线性增长，访问页面数的增长慢于访客数的增长。
然而，之所以可以将百度贴吧的这一规模法则视作是虚拟网络论坛的“广义克莱伯定律”是因为我们还可以从注意力流网络的视角来看待这一规律。
====流网络的视角====
====粘性指标====
====粘性指标====
作者进一步推导出平均每个独立访客所访问的页面数，也就是该访客来到该贴吧后平均浏览的长度定义为：
:<math>
:<math>
L_t\equiv\frac{PV_t}{UV_t}\propto PV_t^{1-1/\theta}
L_t\equiv\frac{PV_t}{UV_t}\propto PV_t^{1-1/\theta}
</math>
</math>
即当[math]\theta>1[/math]的时候，平均浏览长度随着贴吧的规模（点击量或独立访客的数量）增大而增大；而当[math]\theta<1[/math]的时候，平均浏览长度则随着贴吧的规模增大而减小。
即当[math]\theta>1[/math]的时候，平均浏览长度随着贴吧的规模（点击量或独立访客的数量）增大而增大；而当[math]\theta<1[/math]的时候，平均浏览长度则随着贴吧的规模增大而减小。因此，作者认为[math]\theta[/math] 可作为某贴吧的长期稳定的“'''粘性指标'''”（Stickness）<ref name=":14" />。实证结果显示，86% 的论坛符合此规律，平均 [math]\theta=1.06[/math]（标准差 0.10），约 82% 的论坛为高粘性社区。
====耗散律====
====耗散律====