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Koopman算子理论 (查看源代码)

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第23行：第23行：

其中<math>\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^n</math>是一个有限维的状态空间，<math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是[[离散时间]]步，<math> x_{k} </math>是第<math> k </math> 步的状态，<math> F: \mathcal{X} \to \mathcal{X} </math>是离散[[流映射]]（可能[[非线性]]）。[[离散时间]]Koopman[[算子]] <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

−

<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>

+

:<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>

其中观测函数<math>g \colon \mathcal{X} \to \mathbb{C}</math>构成了集合<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>。对于<math> t = m </math>个[[离散时间]]步<math> m \in \mathbb{N} </math>，[[算子]]可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次[[算子]]作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。

第63行：第63行：

设含[[噪声]]的[[随机动力系统]]由[[随机微分方程（SDE）|随机微分方程（SDE，stochastic differential equation）]]给出：

−

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in \mathcal{X} </math>

+

:<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in \mathcal{X} </math>

其中 <math> W(t) </math>是[[维纳过程]]（Wiener process，[[白噪声]]），<math> \sigma(x(t)) </math>是[[噪声]]强度矩阵，<math>\mathbf{f}</math> 描述了系统的[[确定性]]部分。

第69行：第69行：

[[随机]] Koopman [[算子]] <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>定义为期望[[算子]]<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

−

<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>

+

:<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>

其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为[[随机]] Koopman [[算子]]，参数 t 为演化时间，<math> \mathbb{E}_x </math>为条件期望[[算子]]，下标表示[[初始状态]]为 <math> x </math>，期望针对[[噪声]]过程 <math> W(t) </math>计算，<math> F^t(x, W) </math>为[[随机]][[流映射]]，表示[[初始状态]]<math> x </math>在[[噪声]] <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖[[噪声]]实现），<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为[[随机]]观测结果，随[[噪声]] <math> W(t) </math>变化。

第77行：第77行：

和确定系统的情况类似，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>，用以消除<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>对时间t的依赖，根据[[随机]]微积分里的“[[链式法则]]”————[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，可以将[[随机]] Koopman [[算子]]的[[生成元]]展开为：

−

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

+

:<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与[[确定性系统]]的[[生成元]]一致，对应无[[噪声]]时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为[[噪声]]贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。[[噪声]]项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映[[噪声]]对观测不[[确定性]]的贡献，当[[噪声]]强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，[[随机]][[算子]]退化为[[确定性]][[连续]]时间 Koopman [[算子]]，[[随机]] Koopman [[算子]]的[[特征值]]可能包含衰减项（对应[[噪声]]导致的不[[确定性]][[耗散]]），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均[[线性化]]” 演化。

第101行：第101行：

{{NumBlk|:|

−

<math>

+

:<math>

\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}_k) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k).

</math>

第108行：第108行：

在[[连续]]时间下，[[Lie算子]]的[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>满足：

−

<math>

+

:<math>

\frac{d}{dt} \varphi(\mathbf{x}) = \mathcal{L}\varphi(\mathbf{x}) = \mu \varphi(\mathbf{x}),

</math>

第118行：第118行：

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

−

<math>

+

:<math>

\varphi(\mathbf{x}) := \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x}

</math>

第124行：第124行：

它之所以是Koopman特征函数，是因为

−

<math>

+

:<math>

\mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x}).

</math>

第134行：第134行：

在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

−

<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). </math>

+

:<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). </math>

[[代数]]上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman[[特征函数]]的[[集合]]在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的[[动力系统]]，可能存在有限组[[生成元]][[特征函数]]元素，可以用来构建所有其他[[特征函数]]<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

第143行：第143行：

观测函数可以由[[特征函数]]线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman[[算子]]作用下具有极为简单的演化关系：

−

<math>

+

:<math>

g(\mathbf{x}) = \sum_k v_k \varphi_k

\implies

第151行：第151行：

这意味着子空间 <math>\mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math> 在Koopman[[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 的作用下是不变的。因此我们可以分析一般观测量分解到[[特征函数]]下的时间演化。这种分析为数据驱动算法中的[[动力学]][[模式分解]]（Dynamic Mode Decomposition, DMD）方法奠定了基础。到目前为止，我们只给定了单一的观测函数，接下来我们写出多个观测函数下Koopman[[模式分解]]的[[表达式]]。我们将这些观测整理成一个[[向量]]<math>\mathbf{g}</math>：

−

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} . </math>

+

:<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} . </math>

每一个单独的测量都可以用[[特征函数]]<math>\varphi_j(\mathbf{x})</math>的基展开表示：

−

<math> g_i(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^\infty v_{ij} \varphi_j(\mathbf{x}) . </math>

+

:<math> g_i(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^\infty v_{ij} \varphi_j(\mathbf{x}) . </math>

因此，观测量[[向量]]<math>\mathbf{g}</math>也可以[[类似]]地展开为

−

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}) \mathbf{v}_j, </math>

+

:<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}) \mathbf{v}_j, </math>

+

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

第166行：第167行：

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

−

<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>

+

:<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。

第174行：第175行：

我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

−

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

+

:<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''，由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

第185行：第186行：

'''定义：'''假设一个观测量的演化<math>g(\mathbf{x}(t)) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x}))</math>已知，则可以通过以下长期谐波或傅里叶平均来计算与[[特征值]]<math>e^{i\omega}</math>对应的[[特征函数]]<ref name="brunton_2022" />：

−

<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. </math>

+

:<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. </math>

'''证明：'''可以根据[[特征函数]]的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是[[特征函数]]，<math>e^{i\omega}</math>是[[特征值]]。特别地，当<math> \omega=0</math>时，<math> \tilde{g}_0(\mathbf{x})</math>是[[特征值]]为1所对应的[[特征函数]]。证明如下：

第191行：第192行：

由于 <math> (\mathcal{K}^t g)(\mathbf{x}) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) </math>，我们有：

−

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^t(\mathbf{F}^s(\mathbf{x}))) e^{-i\omega t} dt \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^{t+s}(\mathbf{x})) e^{-i\omega t} dt \\ \end{aligned} </math>

+

:<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^t(\mathbf{F}^s(\mathbf{x}))) e^{-i\omega t} dt \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^{t+s}(\mathbf{x})) e^{-i\omega t} dt \\ \end{aligned} </math>

令 <math> \tau = t + s \Rightarrow t = \tau - s </math>，则：

−

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

+

:<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是[[特征值]]为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman[[特征函数]]。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个[[特征值]]和[[特征函数]]，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些[[特征函数]]不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的[[特征值]]。

第205行：第206行：

[[标准映射]]（Standard Map），又称Chirikov[[标准映射]]，是[[动力系统理论]]和[[混沌]]研究中最经典、最基础的二维离散映射之一。它通过一组简单的[[迭代]]方程：

−

<math> \begin{cases} y_{n+1} = [y_n + \epsilon \sin(2\pi x_n)] \;\mathrm{mod}\; 1 \\\\ x_{n+1} = [x_n + y_{n+1}] \;\mathrm{mod}\; 1 \end{cases} </math>

+

:<math> \begin{cases} y_{n+1} = [y_n + \epsilon \sin(2\pi x_n)] \;\mathrm{mod}\; 1 \\\\ x_{n+1} = [x_n + y_{n+1}] \;\mathrm{mod}\; 1 \end{cases} </math>

它描述了[[非线性]]扰动下保面积[[哈密顿系统]]的[[相空间]][[动力学]]。[[标准映射]]体现了系统从有序到[[混沌]]的逐渐演化，广泛用于研究[[混沌现象]]、KAM理论和[[分形结构]]，是理解[[非线性动力学]]的重要模型。现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的[[特征值]]为1的[[特征函数]]在[[相空间]]上的分布，如下图所示：

第217行：第218行：

此处可直接参考下文中“扩展DMD”章节部分。简单来说，给定观测函数<math>g</math>并拟合得到Koopman矩阵<math>K</math>以后，我们可以按照如下方式定义Koopman算子的特征函数：

−

<math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αg(x) </math> ，

+

:<math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αg(x) </math> ，

其中 <math> \boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α </math>。这代表<math>\boldsymbol{\xi}^\top</math>是<math>K</math>的左特征向量。

第227行：第228行：

'''定义（不变子空间）'''：一个Koopman不变子空间<ref name="brunton_2022" />被定义为一组函数<math>{g_1, g_2, \ldots, g_p}</math>的张成空间，如果该子空间中的所有函数<math>g</math>都满足：

−

<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

+

:<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

在经过Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>作用后，仍然留在该子空间：

−

<math> \mathcal{K}g = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + \cdots + \beta_p g_p </math>

+

:<math> \mathcal{K}g = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + \cdots + \beta_p g_p </math>

第242行：第243行：

然而，如果选取的观测函数并不张成Koopman不变子空间，那么[[投影]][[算子]]将会产生与真实Koopman[[算子]]不同的[[伪特征值]]和伪[[特征向量]]。例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标[[方向]]<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：

−

<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y = x_1 + x_2. </math>

+

:<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y = x_1 + x_2. </math>

在这种情况下，数据驱动算法会预测出一个[[伪特征值]]3，这实际上是前两个[[特征值]]<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个[[特征向量]]之和。因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免[[过拟合]]是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据[[采样]]相比于原本的[[连续]][[动力学]]过于离散化，也会造成[[伪特征值]]出现的问题。具体分析见下文“残差DMD”章节。

第249行：第250行：

通过一个简单案例，我们可以体会以观测函数将一个系统[[线性化]]处理的好处：通过分析观测空间中[[线性系统]]的性质，我们可以描述原系统会有怎样的[[动力学]]行为。这里，我们引用Brunton等人<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>详细研究过的一个具有单个[[不动点]]的示例系统，其方程为：

−

+

:<math> \dot{x}_1 = μx_1 </math>

−

+

:<math> \dot{x}_2 = λ(x_2 - x_1^2） </math>

其中μ=-0.05，λ=-1。观测函数选取上，首先可以直接观测<math> y_1=x_1,y_2=x_2 </math>。然后，我们可以引入一个[[非线性]]测量 <math> y_3 = x_1^2 </math>，从而定义一个三维的Koopman不变子空间。在这些新坐标下，[[动态系统]]变成了[[线性系统]]：

−

<math>

+

:<math>

\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}

</math>

第269行：第270行：

以上内容展示了系统在全局[[线性化]]之后的[[动力学]]分析过程。Koopman[[算子]]便是在合适的观测函数下，将任意的[[非线性系统]]做全局[[线性化]]的变换，而且变换后的[[线性系统]]的性质与原系统的[[动力学]]性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。我们可以依据前文提及的[[特征函数]]计算方法来提取和分析Koopman矩阵的[[特征函数]]。通过计算Koopman矩阵的左[[特征向量]]之后，我们找到对应于[[特征值]]μ和λ的Koopman[[特征函数]]为：

−

<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，

+

:<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，

其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> 。这个参数代表着快慢变量之间速度变化的比例，其中<math>x_1</math>是慢变量。如果我们以这些[[特征函数]]本身作为观测量来构建不变子空间，那么此时空间上的坐标就是Koopman不变子空间上的特征坐标<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>

第336行：第337行：

在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量函数 <math>g_k</math> 构造而成：

−

<math> \mathbf{z} = \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x})\\ g_2(\mathbf{x})\\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} </math>

+

:<math> \mathbf{z} = \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x})\\ g_2(\mathbf{x})\\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} </math>

向量<math>\mathbf{z}</math>可以包含原始状态<math>\mathbf{x}</math>以及非线性测量，因此通常<math>p \gg n</math>。接下来，像DMD一样构造两个数据矩阵：

−

<math> \mathbf{Z} = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_1 & \mathbf{z}_2 & \cdots & \mathbf{z}_m \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}, \quad \mathbf{Z}' = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_2 & \mathbf{z}_3 & \cdots & \mathbf{z}_{m+1} \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} </math>

+

:<math> \mathbf{Z} = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_1 & \mathbf{z}_2 & \cdots & \mathbf{z}_m \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}, \quad \mathbf{Z}' = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_2 & \mathbf{z}_3 & \cdots & \mathbf{z}_{m+1} \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} </math>

这里<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{g}(\mathbf{x}k) = \mathbf{g}(\mathbf{x}(k\Delta t))</math>，为简化起见，我们假设数据是在时间上等间隔采样。和DMD一样，构造一个最佳线性矩阵算子<math>\mathbf{A}\mathbf{Z}</math>，将<math>\mathbf{Z}</math>映射到<math>\mathbf{Z}'</math>：

−

<math> \mathbf{A}_\mathbf{Z} = \underset{\mathbf{A}_\mathbf{Z}}{\arg\min} \, \|\mathbf{Z}' - \mathbf{A}_\mathbf{Z} \mathbf{Z}\|_F = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}^\dagger </math>

+

:<math> \mathbf{A}_\mathbf{Z} = \underset{\mathbf{A}_\mathbf{Z}}{\arg\min} \, \|\mathbf{Z}' - \mathbf{A}_\mathbf{Z} \mathbf{Z}\|_F = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}^\dagger </math>

由于扩展向量<math>\mathbf{z}</math>可能远大于状态<math>\mathbf{x}</math>的维数，通常有必要使用[[核方法]]来计算这个回归问题。近年来，利用[[核方法]]近似Koopman算子的DMD方法已经成为一个重要的研究课题<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref>，具体可参考下文“核DMD”的章节。在[[无限]]样本数据的情况下，eDMD矩阵会收敛到由这些函数所张成的子空间上的Koopman[[算子]]的[[投影]]。如前文所述，选取观测函数时注意要让它们能够张成Koopman不变子空间。

第350行：第351行：

Koopman[[算子]]的[[特征函数]]一定可以形成Koopman不变子空间，并为[[动力学]]提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。这些[[特征函数]]可以通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数[[集合]]<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：

−

<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>

+

:<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>

在[[离散时间]]中，Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>在一组数据轨迹<math>{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m}</math>上的值应满足：

−

<math> \lambda \left[\varphi(\mathbf{x}_1)\;\; \varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_m)\right] = \left[\varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \varphi(\mathbf{x}_3)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_{m+1})\right] </math>

+

:<math> \lambda \left[\varphi(\mathbf{x}_1)\;\; \varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_m)\right] = \left[\varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \varphi(\mathbf{x}_3)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_{m+1})\right] </math>

将<math>\varphi</math>展开，这个关系变为：

−

<math> \lambda \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_1\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_m\right] = \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_3\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_{m+1}\right] </math>

+

:<math> \lambda \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_1\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_m\right] = \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_3\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_{m+1}\right] </math>

进而可以用数据矩阵<math>\mathbf{Z}</math>和<math>\mathbf{Z}'</math>将其写作如下矩阵方程：

−

<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z} - \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' = 0 </math>

+

:<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z} - \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' = 0 </math>

如果我们对上式采用[[最小二乘]]（least-squares）拟合，这就化简为：

−

<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>

+

:<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>

[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在观测函数<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右[[特征向量]]是eDMD模态，与DMD模态[[类似]]。

第382行：第383行：

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），如一系列的多项式，EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：

−

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

+

:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

定义[[向量]]值特征映射<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>，其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数[[向量]]。

第388行：第389行：

由此可将Koopman[[算子]]对g的作用分解为：

−

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

+

:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

通常情况下，<math>V_{N_K}</math>并非<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \Omega</math>均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。此时，EDMD 通过最小化 “残差项<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>的积分范数” 确定<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>，即求解以下优化问题：

−

<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

+

:<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

其中<math>\|\mathbf{ · }\|_2</math>表示[[向量]]的标准欧几里得范数。实际计算中无法直接对上式的求积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为[[节点]]，<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M </math>为[[初始条件]]数量）近似积分，将上式转化为加权[[最小二乘]]问题：

−

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

+

:<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

该问题的[[解析解]]可表示为：

−

<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>

+

:<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>

其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），<math>\displaystyle{ \Psi_X }</math>和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>为矩阵，即，

第408行：第409行：

故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>(\lambda, g) </math>（<math>\lambda \in \mathbb{C} </math>是候选[[特征值]]，<math>g = \Psi \boldsymbol{g} \in V_{N_K}</math>是基于字典的候选[[特征函数]]），残差定义为：

−

<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}</math>

+

:<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}</math>

===算法===

第454行：第455行：

品红色圆点为传统 EDMD [[特征值]]，大量[[特征值]]位于[[伪谱]]之外，这些是离散化导致的[[谱污染]]（虚假[[特征值]]），无法反映系统真实[[动力学]]，例如虚部 > 0.5的[[特征值]]对应不存在的高频[[振荡]]，与[[高斯迭代映射]]的实际[[动力学]]矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选[[特征值]]，所有[[特征值]]均位于<math>\epsilon=0.01</math>的[[伪谱]]内。下图右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

−

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

+

:<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman [[算子]][[内积]]的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯-勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；[[蒙特卡洛]]规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

第468行：第469行：

具体来说，[[核函数]]<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得：

−

<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

+

:<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>表示RKHS中的[[内积]]。这种方法允许我们在不知道显式映射<math>\phi</math>的情况下，直接在核空间中计算相似性。即此时Koopman[[算子]]的近似矩阵<math>\mathbf{A}_\phi</math>为<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>：

−

<math>\mathbf{K}_{YX} \approx \mathbf{A}_\phi \mathbf{K}_{XX}</math>

+

:<math>\mathbf{K}_{YX} \approx \mathbf{A}_\phi \mathbf{K}_{XX}</math>

其中，<math>(\mathbf{K}_{XX})_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), \quad (\mathbf{K}_{YX})_{ij} = k(\mathbf{y}_i, \mathbf{x}_j)</math>

第524行：第525行：

时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。在这个例子中，我们有来自原始三态[[Lorenz系统]]的单个[[标量]]测量[[信号]]<math>x(t)</math>。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：

−

<math>

+

:<math>

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & x(t_2) & \cdots & x(t_p) \\ x(t_2) & x(t_3) & \cdots & x(t_{p+1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(t_q) & x(t_{q+1}) & \cdots & x(t_m) \end{bmatrix}.

</math>

第530行：第531行：

<math>\mathbf{H}</math> 的每一列都可以通过将前一列在时间上向前推进一步来获得。因此，我们可以用 Koopman [[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 重写上式：

−

<math>

+

:<math>

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & \mathcal{K}x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{p-1}x(t_1) \\ \mathcal{K}x(t_1) & \mathcal{K}^2x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{p}x(t_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathcal{K}^{q-1}x(t_1) & \mathcal{K}^{q}x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{m-1}x(t_1) \end{bmatrix}.

</math>

第536行：第537行：

对于足够的数据量，系统将收敛到一个[[吸引子]]，使得 <math>\mathbf{H}</math> 的列变得近似线性相关。在这种情况下，可以通过计算 <math>\mathbf{H}</math> 的[[SVD]]来获得一个 Koopman不变子空间：

−

<math>

+

:<math>

\mathbf{H} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*.

</math>

第544行：第545行：

在延迟坐标 <math>\mathbf{v}</math> 上，我们可以得到一个最佳拟合线性[[回归]]模型。一个很直接的做法是，我们可以对由 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。在实践中，学者建议对由 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的[[类似]]矩阵进行DMD估计，因为这样我们便可以在一个[[降维]]的特征空间中拟合系统的演化。下面是关于 <math>\mathbf{V}</math> 中变量的线性[[回归]]模型，

−

<math>

+

:<math>

\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t) = \mathbf{A}\mathbf{v}(t).

</math>

第550行：第551行：

Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该[[线性系统]]捕捉了弱[[非线性系统]]的[[动力学]]。然而，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />：

−

<math>

+

:<math>

\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t) = \mathbf{A}\mathbf{v}(t) + \mathbf{B}v_r(t),

</math>

第570行：第571行：

设[[动力学]]的定义域 <math>\mathcal{X}</math> 被赋予[[Borel可测空间]]的结构。给定一个[[概率测度]] <math>\mu</math> 和任意可测集 <math>A</math>，'''定义'''PF[[算子]]为

−

<math>\mathcal{P}^t \mu(A) := \mu(\mathbf{F}^{-t}(A)),</math>

+

:<math>\mathcal{P}^t \mu(A) := \mu(\mathbf{F}^{-t}(A)),</math>

其中 <math>\mathbf{F}^{-t}(A) := \{\mathbf{x} \in \mathcal{X} : \mathbf{F}^t(\mathbf{x}) \in A\}</math> 是 <math>A</math> 通过[[动力学]]的[[原像]]。与 Koopman [[算子]][[类似]]，<math>\mathcal{P}^t</math> 族形成一个[[幺半群]]。另一种表述将[[概率测度]]空间上的作用替换为函数空间上的作用<ref name=lasota_1994 />。这假设[[流映射]] <math>\mathbf{F}^t</math> 相对于某个基测度 <math>m</math>（例如[[勒贝格测度]]）是非奇异的，意味着

−

<math>m(A) \neq 0 \implies m(\mathbf{F}^{-t}(A)) \neq 0.</math>

+

:<math>m(A) \neq 0 \implies m(\mathbf{F}^{-t}(A)) \neq 0.</math>

将 <math>g \in L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 解释为测度的密度，即 <math>d\mu = g dm</math>，可以将 PF 算子 <math>\mathcal{P}^t: L^1(\mathcal{X}, dm) \to L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 定义为

−

<math>\int_A \mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) dm = \int_{\mathbf{F}^{-t}(A)} g(\mathbf{x}) dm</math>

+

:<math>\int_A \mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) dm = \int_{\mathbf{F}^{-t}(A)} g(\mathbf{x}) dm</math>

上式对于任意 Borel 集 <math>A</math> 成立。如果流映射还是光滑的，则该定义等价于

−

<math>\mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) = \int_{\mathbf{F}^{-t}(\mathbf{x})} \frac{g(\mathbf{s})}{|\nabla \mathbf{F}^t(\mathbf{s})|} dm(\mathbf{s}),</math>

+

:<math>\mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) = \int_{\mathbf{F}^{-t}(\mathbf{x})} \frac{g(\mathbf{s})}{|\nabla \mathbf{F}^t(\mathbf{s})|} dm(\mathbf{s}),</math>

其中 <math>|\nabla \mathbf{F}^t|</math> 表示流映射导数的[[雅可比行列式]]的行列式值。

第588行：第589行：

这两种表述（即之前的定义与上述积分定义）通过将 <math>g \in L^1</math> 解释为定义绝对连续于 <math>dm</math> 的概率测度的密度（即 <math>d\mu = g dm</math>）而联系起来。假设动力学可以被限制在一个有限测度的空间内，则有 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm) \subset L^2(\mathcal{X}, dm) \subset L^1(\mathcal{X}, dm)</math>。在这种设定下，Koopman 算子和 PF 算子可以分别定义在 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm)</math> 和 <math>L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 上，或者都定义在 <math>L^2(\mathcal{X}, dm)</math> 上，并且可以证明它们互为伴随<ref name=lasota_1994 />：

−

<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>

+

:<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>

由于证明是通过简单函数（即指示函数的线性组合）逼近的标准论证进行的，这种关系可以扩展到更广泛的场景。伴随算子具有相同的谱，尽管它们的[[特征函数]]确实不同，正如矩阵及其伴随（转置）的特征向量的一般情况一样。对于保持[[勒贝格测度]]的可逆非奇异动力学，时间正向映射 <math>\mathbf{F}^t</math> 的 PF 算子恰恰是时间反向映射 <math>\mathbf{F}^{-t}</math> 的 Koopman 算子<ref name=lasota_1994 />。

第596行：第597行：

PF [[算子]]的[[特征函数]]对应于[[状态空间]]中点的复数值分布，这些分布根据相关的[[特征值]]进行演化

−

<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>

+

:<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>

当 <math>\lambda = 1</math> 时，<math>\rho</math> 是不变密度，可将[[动力学]]划分为不变集。即使远离[[Galerkin近似]]的极限，Ulam矩阵 <math>\mathbf{U}</math>(PF[[算子]]的具体矩阵表示) 也可以被解释为[[有向图]]上的[[马尔可夫链]][[转移矩阵]]，这允许定义[[状态空间]]中的[[几乎不变集]]<ref>G. Froyland and M. Dellnitz, Detecting and locating near-optimal almost-invariant sets and cycles, SIAM J. Sci. Comput., 24 (2003), pp. 1839--1863, https://doi.org/10.1137/ S106482750238911X. (Cited on pp. 240, 272)</ref>。对于模长<math>|\lambda| \neq 1</math>的[[特征值]]，其[[特征函数]]与[[动力系统]][[状态空间]]中的混合性质和逃逸率有关<ref>G. Froyland and O. Stancevic, Escape rates and Perron-Frobenius operators: Open and closed dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. B, 14 (2010), pp. 457--472, https: //doi.org/10.3934/dcdsb.2010.14.457. (Cited on p. 272)</ref>。

第602行：第603行：

PF[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Liouville算子]] <math>\mathcal{A}</math>，其满足

−

<math>\mathcal{P}^t = e^{t\mathcal{A}}.</math>

+

:<math>\mathcal{P}^t = e^{t\mathcal{A}}.</math>

[[类似]]于Koopman[[算子]]的Lie [[生成元]]，当[[动力学]]使用速度场 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 指定时，可以证明[[Liouville算子]]满足

−

<math>\mathcal{A}\rho = -\operatorname{div}(\rho \mathbf{f}),</math>

+

:<math>\mathcal{A}\rho = -\operatorname{div}(\rho \mathbf{f}),</math>

进而导出一个[[Liouville算子]]和 PF [[算子]]的[[特征函数]]必须满足的PDE，

−

<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>

+

:<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>

只要PF[[算子]][[特征值]]<math>\lambda = e^\mu \in \mathbb{C}/\{0\}</math> 成立。Koopman和PF[[算子]]的不变[[特征函数]]已被用于提取[[动力系统]][[状态空间]]中的不变集。在这些[[算子]]互为对偶的函数空间中，两个[[算子]]的[[特征函数]]理论上包含相同的信息。然而，在实践中，我们需要基于实际约束做出合适的选择。例如，通过Koopman[[特征函数]]对不变集的近似依赖于长时间的轨迹，而Ulam对PF的近似通常需要定义域内密集[[采样]]的短时轨迹<ref>M. Budis\v i\'c and I. Mezic\', Geometry of the ergodic quotient reveals coherent structures in flows, Phys. D, 241 (2012), pp. 1255--1269, https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006. (Cited on pp. 231, 232, 237, 244, 267, 272, 279)</ref>。

第618行：第619行：

[[算子]]<math>\mathcal{L}</math>被称为[[Lie算子]]，因为它就是沿着[[向量场]]<math>\mathbf{f}(\mathbf{x})</math>对<math>g</math>的Lie导数。这可以通过对<math>g(\mathbf{x})</math>的时间导数应用[[链式法则]]得到：

−

<math> \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \nabla g \cdot \dot{\mathbf{x}}(t) = \nabla g \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) </math>

+

:<math> \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \nabla g \cdot \dot{\mathbf{x}}(t) = \nabla g \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) </math>

与

−

<math> \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \lim_{\tau \to 0} \frac{g(\mathbf{x}(t + \tau)) - g(\mathbf{x}(t))}{\tau} = \mathcal{L}(g(\mathbf{x}(t))) </math>

+

:<math> \frac{d}{dt}g(\mathbf{x}(t)) = \lim_{\tau \to 0} \frac{g(\mathbf{x}(t + \tau)) - g(\mathbf{x}(t))}{\tau} = \mathcal{L}(g(\mathbf{x}(t))) </math>

联立起来，可以得到：

−

<math> \mathcal{L}g = \nabla g \cdot \mathbf{f} </math>

+

:<math> \mathcal{L}g = \nabla g \cdot \mathbf{f} </math>

[[Lie算子]]的伴随[[算子]]被称为[[Liouville算子]]，特别是在[[哈密顿]][[动力系统]]中。而Koopman[[算子]]的伴随[[算子]]是[[Perron-Frobenius算子]]。在许多方面，[[动力系统]]的[[算子]]理论框架有两种对偶的观点，分别对应Koopman[[算子]]和[[Perron-Frobenius算子]]。对于<math>\mathcal{L}</math>的[[特征函数]]而言，对应的等价关系是如下的[[偏微分方程]]：

−

<math>

+

:<math>

\nabla \varphi(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}) .

</math>

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