更改

</math>   

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其中 <math>\text{cl}</math> 表示集合的闭包，<math>(\mathcal{K} - \lambda)^{-1}</math> 是预解算子。该定义刻画了在该算子下，对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足特征值方程的标量 <math>\lambda</math> 的集合。

其中 <math>\text{cl}</math> 表示集合的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足特征值方程的标量 <math>\lambda</math> 的集合。

例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标[[方向]]<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：

例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标[[方向]]<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：

:<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y =  x_1 + x_2. </math>

:<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y =  x_1 + x_2. </math>

该观测函数本身张成的空间并不是 Koopman 算子的不变子空间。在这种情况下，数据驱动算法试图用单一的增长率来拟合混合了不同增长率的数据，从而预测出一个伪特征值 <math>3</math>。这实际上是前两个[[特征值]]<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个[[特征向量]]之和。因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免[[过拟合]]是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据[[采样]]相比于原本的[[连续]][[动力学]]过于离散化，也会造成[[伪特征值]]出现的问题。

该观测函数本身张成的空间并不是 Koopman 算子的不变子空间，所以产生了误差<math>\epsilon</math>，其大小反应的是该观测空间与Koopman不变子空间之间的距离。在这种情况下，数据驱动算法试图用单一的增长率来拟合混合了不同增长率的数据，从而预测出一个伪特征值 <math>3</math>。这实际上是前两个[[特征值]]<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个[[特征向量]]之和。该特征值属于上述伪谱定义的集合内，但不是系统真实的特征值。

 

因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免[[过拟合]]是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据[[采样]]相比于原本的[[连续]][[动力学]]过于离散化，也会造成[[伪特征值]]出现的问题。

===理论===

===理论===