更改

:<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

:<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是[[特征值]]为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman[[特征函数]]。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个[[特征值]]和[[特征函数]]，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些[[特征函数]]不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的[[特征值]]。

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是[[特征值]]为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman[[特征函数]]。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个[[特征值]]和[[特征函数]]，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些[[特征函数]]不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的[[特征值]]。对于有意义的特征函数，其中特征函数等于0的点的集合，即零水平集，便可以用来确定几何结构的边界。Mezic<ref name=mezic_2020>Mezić, I. (2020). Spectrum of the Koopman Operator, Spectral Expansions in Functional Spaces, and State-Space Geometry. Journal of Nonlinear Science, 30(5), 2091–2145. https://doi.org/10.1007/s00332-019-09598-5</ref>建立了Koopman算子谱特性与非线性系统几何结构（如流形）之间的严格联系，利用特征函数的零水平集重新定义了稳定流形、不稳定流形、中心流形等。

====应用案例：[[标准映射]]====

====应用案例：[[标准映射]]====