更改

DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，即存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建新的观测量，从而构建一个Koopman不变子空间。和之前提及的算法一样，这里输入是已知的时间序列数据，输出是Koopman算子对应的线性迭代矩阵，只不过这里我们用时间延迟的变量作为扩展的观测函数。

DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，即存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建新的观测量，从而构建一个Koopman不变子空间。和之前提及的算法一样，这里输入是已知的时间序列数据，输出是Koopman算子对应的线性迭代矩阵，只不过这里我们用时间延迟的变量作为扩展的观测函数。

将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是[[Hankel矩阵]]<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。   

将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是[[Hankel矩阵]]<ref name=brunton_2017 />。   

[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。其中输入是观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列，输出是回归拟合之后得到的线性微分方程组的系数矩阵。如果考虑存在控制变量的话，输出还有控制变量前的系数。<ref name=brunton_2017 />|缩略图|600x600像素]]<br>

[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。其中输入是观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列，输出是回归拟合之后得到的线性微分方程组的系数矩阵。如果考虑存在控制变量的话，输出还有控制变量前的系数。<ref name=brunton_2017 />|缩略图|600x600像素]]<br>