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第19行： − 鞍结点[[分岔]]的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半[[稳定不动点]]，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。+ − + − + + + − 【math】 \dot{x}_2 = λ(x_2 - x_1^2) 【/math】+ + + + + + + + − + + +
→历史溯源
只有在此微小邻域内，[[泰勒展开]]后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。
只有在此微小邻域内，[[泰勒展开]]后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。
跨临界[[分岔]]的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终互换：稳定变不稳定，不稳定变稳定。
=== 不动点及其稳定性 ===
以<math display="block">
\dot{x} = rx- x^2
</math> 为例
===[[不动点]]判断===
令<math>f(x)=rx-x^2</math>，令<math>f(x)=0</math>，当，也就没有[[不动点]]；<math>r</math>的范围在<math>\left [ 0,+ \infty \right ) </math>时，解<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>有实际意义。当<math>r=0</math>时，有一个[[不动点]]；当<math>r>0</math>时，有两个[[不动点]]。
===[[不动点]]稳定性分析===
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定[[不动点]]；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定[[不动点]]。<math>r=0</math>为[[分岔]]点，有<math>f'(x^*)=0</math>
===[[相图]]与[[分岔]]图===
对于<math display="block">
\dot{x} = r - x^2
</math>
=== 不动点及其稳定性 ===
[[相图]]即<math>\dot{x}=f(x)</math>的图像，纵坐标为<math>\dot{x}</math>，横坐标为<math>x</math>，展示了系统在参数<math>r</math>取不同值时可分为三种不同的状态。
*实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半[[稳定不动点]]，箭头为演化方向。
[[File:相图：鞍结点分岔标准型1.png|800px|链接=https://wiki.swarma.org/index.php/%E6%96%87%E4%BB%B6:%E7%9B%B8%E5%9B%BE%EF%BC%9A%E9%9E%8D%E7%BB%93%E7%82%B9%E5%88%86%E5%B2%94%E6%A0%87%E5%87%86%E5%9E%8B1.png]]
=== 相图与分岔图 ===
=== 相图与分岔图 ===