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→成块划分和粗粒化的可交换性
根据成块性的定义，当<math>\Phi_{ik} = 1</math>，即状态<math>i</math>属于第<math>k</math>组时，状态<math>i</math>转移到第<math>j</math>组的概率<math>=\sum_m (P_{im} \Phi_{mj})=P'_{kj}</math>，所以<math>\Phi P' = P \Phi</math>，交换律成立。
根据成块性的定义，当<math>\Phi_{ik} = 1</math>，即状态<math>i</math>属于第<math>k</math>组时，状态<math>i</math>转移到第<math>j</math>组的概率<math>=\sum_m (P_{im} \Phi_{mj})=P'_{kj}</math>，所以<math>\Phi P' = P \Phi</math>，交换律成立。
反过来，如果粗粒化和动力学演化满足可交换性，即存在某个宏观转移矩阵 <math>P'</math>，使得
<math>
P\Phi=\Phi P'
</math>
那么也可以推出该划分满足成块性。
设状态 <math>i</math> 和状态 <math>i'</math> 属于同一个宏观块 <math>A_k</math>，也就是 <math>\Phi_{ik}=\Phi_{i'k}=1</math>。由于 <math>\Phi P'</math> 的作用是把宏观转移矩阵 <math>P'</math> 的第 <math>k</math> 行复制到所有属于 <math>A_k</math> 的微观状态行上，因此对于任意宏观块 <math>A_j</math>，都有
<math>
(\Phi P')_{ij} = P'_{kj}
</math>
以及
<math>
(\Phi P')_{i'j} = P'_{kj}
</math>
所以
<math>
(\Phi P')_{ij}=(\Phi P')_{i'j}
</math>
又因为可交换性假设给出 <math>P\Phi=\Phi P'</math>，于是
<math>
(P\Phi)_{ij}=(P\Phi)_{i'j}
</math>
而 <math>(P\Phi)_{ij}</math> 的含义是状态 <math>i</math> 转移到宏观块 <math>A_j</math> 的总概率：
<math>
(P\Phi)_{ij}=\sum_{m}P_{im}\Phi_{mj}=\sum_{s_m\in A_j}P_{im}
</math>
因此，对任意同属 <math>A_k</math> 的微观状态 <math>i,i'</math>，以及任意宏观块 <math>A_j</math>，都有
<math>
\sum_{s_m\in A_j}P_{im}
=
\sum_{s_m\in A_j}P_{i'm}
</math>
这正是成块性的充分必要条件。
因此，在强成块/ordinary lumpability 的意义下，成块性与“存在宏观转移矩阵 <math>P'</math> 使得 <math>P\Phi=\Phi P'</math>”是等价的。也就是说，成块性不是可交换性的一个附加性质，而是马尔科夫链中实现精确可交换粗粒化的具体结构条件。
===一致性===
===一致性===