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马尔科夫链不只是一个马尔科夫矩阵。它还涉及不同的状态，以及状态之间的转移概率，所以我们可以从不同角度来看待粗粒化：

马尔科夫链不只是一个马尔科夫矩阵。它还涉及不同的状态，以及状态之间的转移概率，所以我们可以从不同角度来看待粗粒化：

# 对马尔科夫矩阵做粗粒化：在看待一个方阵时，我们可以把它想象成一个网络的邻接矩阵。节点为状态，连边为状态转移概率，状态转移的过程为一个粒子在节点间跳转，而粗粒化则是对这个网络做降维。

# 对马尔科夫矩阵做粗粒化：在看待一个方阵时，我们可以把它想象成一个网络的邻接矩阵。节点为状态，连边为状态转移概率，状态转移的过程为一个粒子在节点间跳转，而粗粒化则是对这个网络做[[降维]]。

# 对状态空间做粗粒化：我们这里讨论的是离散状态的马尔科夫链，状态空间的大小等于马尔科夫链的大小。粗粒化可以看作对状态空间做分组并投影到新的状态空间。

# 对状态空间做粗粒化：我们这里讨论的是离散状态的马尔科夫链，状态空间的大小等于马尔科夫链的大小。粗粒化可以看作对状态空间做分组并投影到新的状态空间。

# 对概率空间做粗粒化：从概率论出发，把状态的发生看作事件，通过计算事件发生的频率来构建概率空间。在降维表达事件的同时也构建了新的概率空间。

# 对概率空间做粗粒化：从概率论出发，把状态的发生看作事件，通过计算事件发生的频率来构建概率空间。在降维表达事件的同时也构建了新的概率空间。

本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学 <math>P</math> 是时齐（不随时间变化）的，不讨论连续马尔科夫过程。我们定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为 n 的马尔科夫矩阵。同样，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。

本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学 <math>P</math> 是时齐（不随时间变化）的，不讨论连续马尔科夫过程。我们定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为 n 的马尔科夫矩阵。同样，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。

多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":7" /></ref>：

多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":7" />：

[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|替代=|图1：粗粒化定义]]

[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|替代=|图1：粗粒化定义]]

对状态空间 <math>S</math> 和转移函数 <math>P(t):S \rightarrow S</math>，我们需要'''一个状态分组的投影函数 <math>\Phi:S \rightarrow S'</math>'''，和'''一个在新状态空间上的转移函数 <math>P'(t):S' \rightarrow S'</math>'''，而且 '''<math>S'</math> 和<math>P'</math> 要符合马尔科夫链定义'''。

对状态空间 <math>S</math> 和转移函数 <math>P(t):S \rightarrow S</math>，我们需要'''一个状态分组的[[投影函数]] <math>\Phi:S \rightarrow S'</math>'''，和'''一个在新状态空间上的转移函数 <math>P'(t):S' \rightarrow S'</math>'''，而且 '''<math>S'</math> 和<math>P'</math> 要符合马尔科夫链定义'''。

如果把这个降维/粗粒化过程拆开看，它可以分为三步。

如果把这个降维/粗粒化过程拆开看，它可以分为三步。