更改

# 成块性的分组数量是基于马尔科夫秩的，而近似动力学可逆性的分组数量是对奇异值谱的截断位置。

# 成块性的分组数量是基于马尔科夫秩的，而近似动力学可逆性的分组数量是对奇异值谱的截断位置。

[[文件:成块性和因果涌现.png|700x700px|替代=|无]]

[[文件:成块性和因果涌现.png|无|缩略图|700x700像素]]

<br/>

<br/>

当马尔科夫矩阵存在成块或近成块结构时，谱方法也可以直接用来恢复划分。实际问题中的难点在于：状态顺序常常被打乱，矩阵里还会混入噪声，因此我们往往既不知道它是否严格成块，也不知道应当分成几组。

当马尔科夫矩阵存在成块或近成块结构时，谱方法也可以直接用来恢复划分。实际问题中的难点在于：状态顺序常常被打乱，矩阵里还会混入噪声，因此我们往往既不知道它是否严格成块，也不知道应当分成几组。

[[文件:Lump fig1.png|无|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|缩略图|400x400像素]]

[[文件:Lump fig1.png|无|图7：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|缩略图|400x400像素]]

针对这一问题，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":4" />提出先构造'''稳态流矩阵'''（frequency matrix）<math>F = \mathrm{diag}(\pi) \cdot P</math>，再利用它的奇异值结构来恢复成块划分。其中 <math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，<math>F_{ij} = \pi_i P_{ij}</math> 表示稳态下从状态 <math>i</math> 流向状态 <math>j</math> 的长期概率流量。

针对这一问题，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":4" />提出先构造'''稳态流矩阵'''（frequency matrix）<math>F = \mathrm{diag}(\pi) \cdot P</math>，再利用它的奇异值结构来恢复成块划分。其中 <math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，<math>F_{ij} = \pi_i P_{ij}</math> 表示稳态下从状态 <math>i</math> 流向状态 <math>j</math> 的长期概率流量。

## 当待合并节点<math>A</math>指向同一个输出节点时；

## 当待合并节点<math>A</math>指向同一个输出节点时；

## 当待合并节点<math>A</math>指向不同输出节点时；

## 当待合并节点<math>A</math>指向不同输出节点时；

# 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：

# 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（8）所示：

[[文件:HOM示例.png|无|图7：HOM节点边权合并示意图|缩略图|500x500像素]]

[[文件:HOM示例.png|无|图8：HOM节点边权合并示意图|缩略图|500x500像素]]

论文<ref name=":19" />中提到，原始微观动力学与使用该方法聚合后的宏观动力学能够满足其定义的一致性。

论文<ref name=":19" />中提到，原始微观动力学与使用该方法聚合后的宏观动力学能够满足其定义的一致性。