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=='''非线性中心判据'''==
=='''非线性中心判据'''==
'''经典中心问题'''（Classical Center Problem）由 Poincaré 正式提出<ref>POINCARÉ H. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (I)[J]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1881, 7(3): 375-422.</ref>：
'''经典中心问题'''（Classical Center Problem）由 Poincaré 正式提出<ref>POINCARÉ H. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (I)[J]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1881, 7(3): 375-422.</ref>：
解决经典中心问题最直接的方法是逐阶计算系统的 Lyapunov 量<ref>LYAPUNOV A M. Problème général de la stabilité du mouvement[M]. Princeton: Princeton University Press, 1947.</ref>，通过其消失条件判定中心是否存在。
解决经典中心问题最直接的方法是逐阶计算系统的 Lyapunov 量<ref>LYAPUNOV A M. Problème général de la stabilité du mouvement[M]. Princeton: Princeton University Press, 1947.</ref>，通过其消失条件判定中心是否存在。
===Lyapunov量与焦点量===
===一般情况的判定——Lyapunov量===
====定义====
====定义====
考虑平面系统
考虑平面系统
幸运的是，对于两类重要的动力系统——保守系统和可逆系统——无需逐阶计算 Lyapunov 量，即可直接判定非线性中心的存在。
幸运的是，对于两类重要的动力系统——保守系统和可逆系统——无需逐阶计算 Lyapunov 量，即可直接判定非线性中心的存在。
===保守系统中的非线性中心===
===特殊情况1——保守系统中的非线性中心===
==== 定义 ====
==== 定义 ====
不动点为 <math>(0,0)</math> 和 <math>(\pm 1, 0)</math>。在 <math>(0,0)</math> 处，能量曲面的等高线呈现鞍点特征；而在 <math>(\pm 1, 0)</math> 处，<math>E(x, y)</math> 达到局部极小值。根据定理，这两个不动点均为非线性中心，附近存在一族闭轨（周期轨道）。
不动点为 <math>(0,0)</math> 和 <math>(\pm 1, 0)</math>。在 <math>(0,0)</math> 处，能量曲面的等高线呈现鞍点特征；而在 <math>(\pm 1, 0)</math> 处，<math>E(x, y)</math> 达到局部极小值。根据定理，这两个不动点均为非线性中心，附近存在一族闭轨（周期轨道）。
===可逆系统中的非线性中心===
===特殊情况2——可逆系统中的非线性中心===
====定义====
====定义====
如果存在一个相空间到自身的映射 <math>R(\mathbf{x})</math>，满足 <math>R^2(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>（即 <math>R</math> 是一个对合变换），使得系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 在变换 <math>t \to -t</math>，<math>\mathbf{x} \to R(\mathbf{x})</math> 下保持不变，则称该系统为'''可逆系统'''。
如果存在一个相空间到自身的映射 <math>R(\mathbf{x})</math>，满足 <math>R^2(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>（即 <math>R</math> 是一个对合变换），使得系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 在变换 <math>t \to -t</math>，<math>\mathbf{x} \to R(\mathbf{x})</math> 下保持不变，则称该系统为'''可逆系统'''。