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:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = x(1-y) \\[6pt] \dot{y} = y(x-1) \end{array} \right.</math>

:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = x(1-y) \\[6pt] \dot{y} = y(x-1) \end{array} \right.</math>

该系统在正象限内存在平衡点 <math>(1, 1)</math>，其雅可比矩阵特征值为 <math>\lambda = \pm i</math>，满足线性中心的前提条件。进一步分析可知，该系统存在严格守恒的能量函数 <math>H(x, y) = (x - \ln x) + (y - \ln y)</math>。由于沿系统轨线 <math>\frac{dH}{dt} \equiv 0</math>，且 <math>H(x,y)</math> 在 <math>(1,1)</math> 处达到全局极小值，高阶非线性项无法破坏轨线的闭合性。因此，该平衡点被确认为一个严格的'''非线性中心'''。在相图上，这表现为捕食者与猎物的种群数量不会趋于静态，而是围绕平衡点呈现出持续的、由初始状态决定的周期性闭轨波动。

该系统在正象限内存在平衡点 <math>(1, 1)</math>，其雅可比矩阵特征值为 <math>\lambda = \pm i</math>，满足线性中心的前提条件。进一步分析可知，该系统存在严格守恒的能量函数 <math>H(x, y) = (x - \ln x) + (y - \ln y)</math>。由于沿系统轨线 <math>\frac{dH}{dt} \equiv 0</math>，且 <math>H(x,y)</math> 在 <math>(1,1)</math> 处达到全局极小值，高阶非线性项无法破坏轨线的闭合性。因此，该平衡点被确认为一个严格的'''非线性中心'''。在相图上，这表现为捕食者与猎物的种群数量不会趋于静态，而是围绕平衡点呈现出持续的、由初始状态决定的周期性闭轨波动（见图3）。

除上述解析定义与直观模型外，非线性中心在动力系统中还具备以下几个核心的几何与拓扑特征：

除上述解析定义与直观模型外，非线性中心在动力系统中还具备以下几个核心的几何与拓扑特征：

非线性中心的核心几何特征在于其闭轨的连续分布性。在中心的一个充分小的邻域内，除平衡点本身外，所有的相轨线均是嵌套的闭合周期轨线，构成一个连续统（Continuum）。

非线性中心的核心几何特征在于其闭轨的连续分布性。在中心的一个充分小的邻域内，除平衡点本身外，所有的相轨线均是嵌套的闭合周期轨线，构成一个连续统（Continuum）。

这一特征将其与[[极限环]]（Limit Cycle）区分开来：极限环同为闭合周期轨线，但它是孤立的，即在极限环的充分小邻域内不存在其他闭合轨线，其内侧或外侧的相邻轨线会以螺旋形式渐近地趋向（或远离）该极限环。

这一特征将其与[[极限环]]（Limit Cycle）区分开来（见图4）：极限环同为闭合周期轨线，但它是孤立的，即在极限环的充分小邻域内不存在其他闭合轨线，其内侧或外侧的相邻轨线会以螺旋形式渐近地趋向（或远离）该极限环。

=== 拓扑特征与庞加莱指数 ===

=== 拓扑特征与庞加莱指数 ===