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==== 定理（保守系统的非线性中心）====

==== 定理（保守系统的非线性中心）====

考虑系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，其中 <math>\mathbf{x} = (x, y) \in \mathbb{R}^2</math>，<math>\mathbf{f}</math> 是连续可微的。假设存在一个守恒量 <math>E(\mathbf{x})</math>，且 <math>\mathbf{x}^*</math> 是一个'''孤立不动点'''（即在其某个邻域内没有其他不动点）。若 <math>\mathbf{x}^*</math> 是 <math>E(\mathbf{x})</math> 的一个'''局部极小值'''（或局部极大值），则所有充分接近 <math>\mathbf{x}^*</math> 的轨迹都是闭合的，即 <math>\mathbf{x}^*</math> 是一个'''非线性中心'''。

考虑系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，其中 <math>\mathbf{x} = (x, y) \in \mathbb{R}^2</math>，<math>\mathbf{f}</math> 是连续可微的。假设存在一个守恒量 <math>E(\mathbf{x})</math>，且 <math>\mathbf{x}^*</math> 是一个'''[[孤立不动点]]'''（即在其某个邻域内没有其他不动点）。若 <math>\mathbf{x}^*</math> 是 <math>E(\mathbf{x})</math> 的一个'''局部极小值'''（或局部极大值），则所有充分接近 <math>\mathbf{x}^*</math> 的轨迹都是闭合的，即 <math>\mathbf{x}^*</math> 是一个'''非线性中心'''。

'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一等高线上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。

'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一[[等高线]]上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。

'''内在联系：'''  

'''内在联系：'''