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=='''非线性动力系统的非线性中心'''==

=='''非线性动力系统的非线性中心'''==

在前述的线性化失效与临界扰动背景下，要使系统在非线性范畴内维持循环运动，其不动点必须满足更严格的条件。

在前述的线性化失效与临界扰动背景下，要使系统在非线性范畴内维持循环运动，其不动点必须满足更严格的条件。

===定义===

====定义====

在非线性系统 <math>\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 的平衡点 <math>\mathbf{x}_0</math> 处，若线性化后的雅可比矩阵具有一对纯虚数特征值 <math>\pm i\omega</math>（即线性部分为“中心”），且加入高阶非线性项后，系统在该平衡点邻域内仍然存在一簇闭合轨道（周期解），则称该平衡点 <math>\mathbf{x}_0</math> 为'''非线性中心'''<ref>Guckenheimer, J., & Holmes, P. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New York.</ref>。

在非线性系统 <math>\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 的平衡点 <math>\mathbf{x}_0</math> 处，若线性化后的雅可比矩阵具有一对纯虚数特征值 <math>\pm i\omega</math>（即线性部分为“中心”），且加入高阶非线性项后，系统在该平衡点邻域内仍然存在一簇闭合轨道（周期解），则称该平衡点 <math>\mathbf{x}_0</math> 为'''非线性中心'''<ref>Guckenheimer, J., & Holmes, P. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New York.</ref>。

[[文件:Lotka-Volterra 相图.png|缩略图|右|图3：Lotka-Volterra 模型的非线性中心|260px]]

[[文件:Lotka-Volterra 相图.png|缩略图|右|图3：Lotka-Volterra 模型的非线性中心|260px]]

为了直观展示这一解析定义的物理与生物学意义，我们可以引入经典的 '''[[Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型]]'''。该模型用于描述生态系统中猎物 <math>x(t)</math> 与捕食者 <math>y(t)</math> 的相互作用，其非量纲化方程为<ref>Murray, J. D. (2002). Mathematical biology: I. An introduction (Vol. 17). Springer Science & Business Media.</ref>：

为了直观展示这一解析定义的物理与生物学意义，我们可以引入经典的 '''[[Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型]]'''。该模型用于描述生态系统中猎物 <math>x(t)</math> 与捕食者 <math>y(t)</math> 的相互作用，其非量纲化方程为<ref>Murray, J. D. (2002). Mathematical biology: I. An introduction (Vol. 17). Springer Science & Business Media.</ref>：