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第570行： − + − 这样，我们就能把马尔科夫链放进'''随机动力系统（Random Dynamical System）'''的框架中来理解（详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]）。在这个框架里，'''不变性（Invariance）'''是理解稳态分布的关键。稳态分布描述的是'''分布层面'''的不变，而随机吸引子描述的则是'''状态集合层面'''的不变：一个状态集合若要成为随机吸引子，通常需要满足三点：+ 第578行：
第578行： − 因此，随机吸引子刻画的是系统长期反复停留、且不会轻易逃离的结构。也正是在这个意义上，可约、周期、滑过态这些概念可以被理解为'''稳态下的自然分组规律'''。+
→稳态分布下的随机动力学划分
随机动力学为我们提供了另一个视角来讨论马尔科夫链的 '''状态分布'''。
随机动力学为我们提供了另一个视角来讨论马尔科夫链的 '''状态分布'''。
当我们观察马尔科夫链的一个具体样本时，其在每一步都处于某个'''确定状态'''。而所谓状态分布，是指给定初始分布 <math>\mu</math> 后，系统在 <math>t</math> 时刻落在各个状态的概率。若存在分布 <math>\pi</math> 满足 <math>\pi P = \pi</math>，则称其为'''稳态分布'''。它表示系统在到达稳态后，再继续演化，整体分布会保持不变。
当我们观察马尔科夫链的一个具体样本时，其在每一步都处于某个'''确定状态'''。而所谓状态分布，是指给定初始分布 <math>\mu</math> 后，系统在 <math>t</math> 时刻落在各个状态的概率。若存在分布 <math>\pi</math> 满足 <math>\pi P = \pi</math>，则称其为'''稳态分布'''。所以，当系统在到达稳态后，再继续演化，整体分布会保持不变。
我们可以把马尔科夫链放进'''随机动力系统（Random Dynamical System）'''的框架中来理解（详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]）。在这个框架里，'''不变性（Invariance）'''是理解稳态分布的关键。稳态分布描述的是'''分布层面'''的不变，而随机吸引子描述的则是'''状态集合层面'''的不变。一个状态集合若要成为随机吸引子，通常需要满足三点：
# '''紧致性 (Compactness)'''：对有限状态马尔科夫链，这一点天然满足；
# '''紧致性 (Compactness)'''：对有限状态马尔科夫链，这一点天然满足；
# '''吸引性 (Pullback Attraction)'''：从足够久远的过去出发，系统最终会被拉回到该集合附近。
# '''吸引性 (Pullback Attraction)'''：从足够久远的过去出发，系统最终会被拉回到该集合附近。
因此，随机吸引子刻画的是系统长期反复停留、且不会轻易逃离的结构。正是在这个意义上，我们可以在稳态下讨论可约、周期、滑过态这些概念和分组。
===基础划分===
===基础划分===