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* '''不动点引理'''：设 <math>T</math> 是任何足够强的可公理化理论，则对任何含一个自由变量的公式 <math>\theta(v)</math>，都存在句子 <math>\sigma</math>，使 <math>T</math> 可证 "<math>\sigma\iff\theta</math>(⌜<math>\sigma</math>⌝)"（⌜<math>\sigma</math>⌝ 是 <math>\sigma</math> 的哥德尔数）。即：'''任何性质 <math>\theta</math>，都存在一个句子 <math>\sigma</math>，在 <math>T</math> 可证的意义下恰好谈论"自己是否具有 <math>\theta</math>"'''<ref name="moschovakis2010" />。

* '''不动点引理'''：设 <math>T</math> 是任何足够强的可公理化理论，则对任何含一个自由变量的公式 <math>\theta(v)</math>，都存在句子 <math>\sigma</math>，使 <math>T</math> 可证 "<math>\sigma\iff\theta</math>(⌜<math>\sigma</math>⌝)"（⌜<math>\sigma</math>⌝ 是 <math>\sigma</math> 的哥德尔数）。即：'''任何性质 <math>\theta</math>，都存在一个句子 <math>\sigma</math>，在 <math>T</math> 可证的意义下恰好谈论"自己是否具有 <math>\theta</math>"'''<ref name="moschovakis2010" />。

* 证明：取 <math>\theta(v)</math> = "<math>v</math> 不可证"，由不动点引理得 <math>\sigma\iff\text{"}\sigma\text{不可证"}</math>。若<math>\sigma</math> 可证，则它说的是真话（我不可证），矛盾；若 <math>\neg\sigma</math> 可证，则"<math>\sigma</math> 可证"，又矛盾。于是 <math>\sigma</math> 与 <math>\neg\sigma</math> 都不可证——第一不完备定理成立。把 <math>\theta</math> 换成 [[J. Barkley Rosser|Rosser]] 的精巧变体，还能去掉"<math>\omega</math>-一致性"这个额外假设，得到 '''Rosser 强化'''<ref name="godel1931" /><ref name="moschovakis2010" />。

* 证明：取 <math>\theta(v)</math> = "<math>v</math> 不可证"，由不动点引理得 <math>\sigma\iff\text{"}\sigma\text{不可证"}</math>。若<math>\sigma</math> 可证，则它说的是真话（我不可证），矛盾；若 <math>\neg\sigma</math> 可证，则"<math>\sigma</math> 可证"，又矛盾。于是 <math>\sigma</math> 与 <math>\neg\sigma</math> 都不可证——第一不完备定理成立。把 <math>\theta</math> 换成 [[J. Barkley Rosser|Rosser]] 的精巧变体，还能去掉"<math>\omega</math>-一致性"这个额外假设，得到 [[Rosser 强化]]<ref name="godel1931" /><ref name="moschovakis2010" />。

* '''[[Myhill定理]]（1955）'''：[[罗宾逊算术]] Q 的任何一致、可公理化扩张 <math>T</math>，其定理集都是'''[[创造集]]'''（见 [[#Myhill定理：创造集 = 完备集|§5.8.5.3]]），从而是 r.e.-完备的<ref name="moschovakis2010" />.

* '''[[Myhill定理]]（1955）'''：[[罗宾逊算术]] Q 的任何一致、可公理化扩张 <math>T</math>，其定理集都是'''[[创造集]]'''（见 [[#Myhill定理：创造集 = 完备集|§5.8.5.3]]），从而是 r.e.-完备的<ref name="moschovakis2010" />.