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→二分周期点
x^*=\mu x^*(1-x^*)
x^*=\mu x^*(1-x^*)
</math>
</math>
同样的道理，当迭代方程的极限行为出现两个周期点的时候，我们不妨设这两个点分别为<math>x_1,x_2</math>，则从<math>x_1</math>开始一步迭代应该能得到<math>x_2</math>，而从<math>x_2</math>开始迭代又得到<math>x_1</math>，周而复始，因此，我们可以列出方程：
同样的道理，当迭代方程的极限行为出现两个周期点的时候，我们不妨设这两个点分别为<math>x_1,x_2</math>，则从<math>x_1</math>开始一步迭代应该能得到<math>x_2</math>，而从<math>x_2</math>开始迭代又得到<math>x_1</math>，周而复始，因此，我们可以列出方程：
x_1=f(x_2).& \end{array}\right.
x_1=f(x_2).& \end{array}\right.
</math>
</math>
其中，我们定义<math>f(x)=\mu x (1-x)</math>。如果将<math>x_2=f(x_1)</math>代入第二个方程，那么上述方程组相当于求解：
其中，我们定义<math>f(x)=\mu x (1-x)</math>。如果将<math>x_2=f(x_1)</math>代入第二个方程，那么上述方程组相当于求解：
:<math>
:<math>
x^*=f(f(x^*))= f^{(2)}(x^*)=\mu^2 x^* - \mu^2 (x^*)^2 - \mu^3 (x^*)^2 + 2 \mu^3 (x^*)^3 - \mu^3 (x^*)^4
x^*=f(f(x^*))= f^{(2)}(x^*)=\mu^2 x^* - \mu^2 (x^*)^2 - \mu^3 (x^*)^2 + 2 \mu^3 (x^*)^3 - \mu^3 (x^*)^4
</math>
</math>
显然，这是一个一元四次方程，我们可以求解该方程得到四个解：
显然，这是一个一元四次方程，我们可以求解该方程得到四个解：
x_1^*=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu}+\frac{\sqrt{-3-2\mu+\mu^2}}{\mu}),x_2^*=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu}-\frac{\sqrt{-3-2\mu+\mu^2}} {\mu}),x_3^*=0, x_4^*=\frac{\mu-1}{\mu}
x_1^*=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu}+\frac{\sqrt{-3-2\mu+\mu^2}}{\mu}),x_2^*=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\mu}-\frac{\sqrt{-3-2\mu+\mu^2}} {\mu}),x_3^*=0, x_4^*=\frac{\mu-1}{\mu}
</math>
</math>
其中第3个是和第4个是不动点。我们知道，如果x*是迭代方程的不动点，那么，x*一定也是迭代方程的2周期点、4周期点、任意的周期点。所以，后两个解并非我们要求的二周期点。而第1和第2个解才是真正的二分周期点。我们可以验证：
其中第3个是和第4个是不动点。我们知道，如果x*是迭代方程的不动点，那么，x*一定也是迭代方程的2周期点、4周期点、任意的周期点。所以，后两个解并非我们要求的二周期点。而第1和第2个解才是真正的二分周期点。我们可以验证：
:<math>x_1^*=f(x_2^*),x_2^*=f(x_1^*)</math>。
:<math>x_1^*=f(x_2^*),x_2^*=f(x_1^*)</math>。
为了让这2个解有意义，<math>\mu</math>必须使得根号中的式子大于0，也就是<math>-3-2\mu+\mu^2>0</math>，于是可以推得：
为了让这2个解有意义，<math>\mu</math>必须使得根号中的式子大于0，也就是<math>-3-2\mu+\mu^2>0</math>，于是可以推得：
:<math>\mu>3</math>或者<math>\mu<-1</math>
:<math>\mu>3</math>或者<math>\mu<-1</math>
[[File:X1x2.png|400px|thumb|图12]]
[[File:X1x2.png|400px|thumb|图12]]
其中，下面蓝色曲线为<math>x_1^*</math>，上面的为<math>x_2^*</math>。与上一小节的系统极限行为随<math>\mu</math>变化图相比，该图显然夸大了二分周期点的存在范围。看来，我们不能仅仅根据满足迭代关系这一个条件来确定二分周期点发生的参数区间。
其中，下面蓝色曲线为<math>x_1^*</math>，上面的为<math>x_2^*</math>。与上一小节的系统极限行为随<math>\mu</math>变化图相比，该图显然夸大了二分周期点的存在范围。看来，我们不能仅仅根据满足迭代关系这一个条件来确定二分周期点发生的参数区间。
===二分周期点的稳定性===
===二分周期点的稳定性===