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双曲空间模型 (查看源代码)

2022年1月7日 (五) 14:04的版本

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→‎旋转跟踪曲面：错别字

第45行：第45行：

让跟踪曲线绕着它的渐近线（y=0这个数轴）转一圈，形成的曲面就是一个满足曲率为－1的双曲平面，该曲面被称为Tractricoid（旋转跟踪曲面），也被称为伪球面（pseudosphere）。如下图所示

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[[File:Pseudosphere-representation.png|400px]]

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[[File:Pseudosphere-representation.png|400px|链接=Special:FilePath/Pseudosphere-representation.png]]

我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数，写出跟踪旋转曲面的参数方程：

第65行：第65行：

下面，我们将设法找到制约这个新曲面的度规，有关度规，请参看[[空间曲面]]。

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假设我们从任意点<math>s, \theta</math>~~出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，有包括了沿着~~<math>\theta</math>方向的转动。当角度旋转了<math>d\theta</math>之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是<math>e^{-s}d\theta</math>，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：

+

假设我们从任意点<math>s, \theta</math>出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，又包括了沿着<math>\theta</math>方向的转动。当角度旋转了<math>d\theta</math>之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是<math>e^{-s}d\theta</math>，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：

<math>

第98行：第98行：

==彭加莱平面==

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[[File:800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png|800px]]

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[[File:800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png|800px|链接=Special:FilePath/800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png]]

===定义===

第206行：第206行：

在几何上，这个变换相当于对点(x,y)沿着单位圆做倒置（参见下面的讨论）。

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[[File:hyperbolicmodelInversePoints_701.gif|500px]]

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[[File:hyperbolicmodelInversePoints_701.gif|500px|链接=Special:FilePath/HyperbolicmodelInversePoints_701.gif]]

如图所示，所谓P与P'关于圆O互为倒置，是指<math>|OP|\cdot |OP'|=r^2</math>，其中r为圆的半径。

第299行：第299行：

==彭加莱圆盘==

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[[File:Escher_Circle_Limit_III.jpg|500px]]

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[[File:Escher_Circle_Limit_III.jpg|500px|链接=Special:FilePath/Escher_Circle_Limit_III.jpg]]

虽然彭加莱平面可以很好地模型化双曲空间，但是它也仍然存在着很多弊端。为了避免这些弊端，我们可以再建立一种模型，这被称为彭加莱圆盘（Poincare disk，如上图）。为了得到彭加莱圆盘，我们首先要在(0,-1)的位置上，以<math>\sqrt{2}</math>为半径做一个圆。之后，我们就可以将彭加莱平面上的所有点都对这个圆做倒置（inversion）操作，然后再对y＝0这个数轴做轴对称操作。

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