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| ====其他(Dynamic independence等)==== | | ====其他(Dynamic independence等)==== |
| + | 动态独立性(Dynamic Independence)是一种表征粗粒化宏观变量相对于微观动力学系统的独立性的方法。其核心思想是,尽管宏观变量由微观变量组成,但在预测宏观变量未来状态时,微观历史并不能提供额外的信息。动态独立性从信息论角度形式化了这种简约性,并通过传输熵(Transfer Entropy)进行量化。 |
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| + | # 基本定义 |
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| + | 动态独立性表明,在自身历史条件下,宏观变量 Υ 是独立于微观变量 X 历史的。用公式表示为: |
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| + | <math>I(Y_t : X^-_t | Y^-_t) = 0</math> |
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| + | 2. 传输熵表示: |
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| + | 当且仅当时间 t 从 X 到 Y 的传输熵 Tt(X→Y) <math>T_t(X \to Y)</math>为零时,Y 是相对于 X 动态独立的: |
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| + | <math>Y \text{ 在时间 } t \text{ 相对于 } X \text{ 动态独立} \Leftrightarrow T_t(X \to Y) = 0</math> |
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| + | 传输熵 Tt(X→Y) 定义为: |
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| + | <math>T_t(X \to Y) = H(Y_t | Y^-_t) - H(Y_t | Y^-_t, X^-_t)</math> |
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| + | 3. 带有环境的情况: |
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| + | 在包含环境过程 E 的情况下,定义动态依赖性为: |
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| + | <math>T_t(X \to Y | E) = I(Y_t : X^-_t | Y^-_t, E^-_t) = H(Y_t | Y^-_t, E^-_t) - H(Y_t | X^-_t, Y^-_t, E^-_t)</math> |
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| + | 宏观变量 Y 在环境 E 的条件下相对于微观系统 X 动态独立,当且仅当: |
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| + | <math>T_t(X \to Y | E) = 0</math> |
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| + | 动态独立性的性质 |
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| + | # '''预测解释''': 动态独立性可以通过预测性来解释:给定自身历史的情况下,过程 Y 在时间 t 的不可预测性由熵率 H(Yt∣Yt−) 量化。而动态依赖性 Tt(X→Y) 量化了 X 对 Y 的预测超出 Y 自我预测的程度。 |
| + | # '''信息论条件''': 动态独立性与香农条件互信息直接相关,通过互信息可以衡量系统中变量之间的信息传递。 |
| + | # '''推广''': 动态独立性可以推广到包含第三个条件变量的情况,通过条件传输熵来衡量。对于确定性系统,需要采用不同的方法进行框架化。 |
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| + | 量化动态独立性 |
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| + | 动态依赖性 Tt(X→Y) 是一个非负量,用于量化宏观变量相对于微观变量的动态独立性。如果 Tt(X→Y)=0,则 Y 是完全动态独立的。动态依赖性的具体计算可以通过以下公式表示: |
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| + | <math>T_t(X \to Y) = H(Y_t | Y^-_t) - H(Y_t | Y^-_t, X^-_t)</math> |
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| + | 在包含环境变量 E 的情况下,动态依赖性表示为: |
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| + | <math>T_t(X \to Y | E) = H(Y_t | Y^-_t, E^-_t) - H(Y_t | X^-_t, Y^-_t, E^-_t)</math> |
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| + | 动态独立性的概念广泛适用于多种复杂动态系统,包括神经系统、经济过程和进化过程。通过粗粒化方法,可以将高维微观系统简化为低维宏观系统,从而揭示出复杂系统中的突现结构。 |
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| ==因果涌现的识别== | | ==因果涌现的识别== |