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→与基于最大化有效信息的因果涌现定量化的关系
==与基于最大化有效信息的因果涌现定量化的关系==
==与基于最大化有效信息的因果涌现定量化的关系==
离散的概率转移矩阵的近似可逆性和最大化有效信息是正相关的，在我们进行基于SVD的粗粒化策略时，得到的宏观态的有效信息与近似可逆性也会满足同样的规律。在Erik Hoel因果涌现理论的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。
对于离散的马尔科夫概率转移矩阵，我们可以使用一个<math>N\times r</math>聚类矩阵<math>\Phi=(\Phi_1^T,\cdots,\Phi_r^T)</math>定义粗粒化策略，其中向量<math>\Phi_i\in R^N</math>表示第i个聚类中包含的元素，例如第j个微观态属于第i个宏观态，则<math>\Phi_{i,j}=1</math>。
对于离散的马尔科夫概率转移矩阵，我们可以使用一个<math>N\times r</math>聚类矩阵<math>\Phi=(\Phi_1^T,\cdots,\Phi_r^T)</math>定义粗粒化策略，其中向量<math>\Phi_i\in R^N</math>表示第i个聚类中包含的元素，例如第j个微观态属于第i个宏观态，则<math>\Phi_{i,j}=1</math>。
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<math>\Phi=(\Phi_1^T,\cdots,\Phi_r^T)</math>中至少有一个向<math>\phi_j</math>与奇异向量<math>U_i</math>平行，使得对于所有i≤r，<math>||\phi_j^T U_i||</math>达到最大化，相当于为<math>U_i</math>的方向分配更多的概率质量。
因此，我们可以最大化<math>Γ_\alpha(P^{'}</math>。因为<math>\log(Γ_\alpha)<EI</math>，所以在最大化<math>Γ_\alpha</math>的同时最大化EI也是可以实现的。因此，为了最大化EI，我们需要选择粗粒化策略，为奇异值最大的奇异向量方向分配更多的概率质量。
==TPM矩阵的粗粒化方法==
==TPM矩阵的粗粒化方法==