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第566行： − + − <blockquote> − <math>A^T\Sigma^{-1}A=USU^T − </math> − </blockquote> − 和 − <blockquote> − <math>\Sigma^{-1}=VKV^T − </math> − </blockquote> − 其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>分别包含了两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交积。当我们得到<math>r_\epsilon</math>之后, 理论上就分别需要保留奇异值<math>s_1,\cdots,s_{r_\epsilon}</math>和<math>\kappa_1,\cdots, \kappa_{r_\epsilon}</math>，因此粗粒化映射<math>\phi(x_t)=Wx_t</math>中的参数矩阵<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>应与它们对应的奇异向量尽量平行而不是正交。 我们可以根据有效秩，将奇异向量划分为 − <blockquote> − <math>U=(U_1,U_2),U_1\in\mathcal{R}^{n\times r_\epsilon},U_2\in\mathcal{R}^{n\times (n-r_\epsilon)} − </math> − </blockquote> − 和 − <blockquote> − <math>V=(V_1,V_2),V_1\in\mathcal{R}^{n\times r_\epsilon},V_2\in\mathcal{R}^{n\times (n-r_\epsilon)} − </math> − </blockquote> − 两部分，这样对于粗粒化策略的制定就变成了让<math>WU_1</math>,<math>WV_1</math>尽量接近满秩的酉矩阵，而让<math>WU_2</math>,<math>WV_2</math>尽量接近0，这样在粗粒化之后<math>U_1, V_1</math>对应的奇异值会得到保留，其余的奇异值会被舍弃。但是<math>U,V</math>并不是在所有系统中都能保证相等，所以我们就需要对两个矩阵的生成空间进行分类讨论。 − 我们主要讨论两组生成空间 − <blockquote> − <math> − \Omega_{{\rm I}}=\mathcal{M}(U_1)\cap\mathcal{M}(V_1),\Omega_{{\rm II}}=(\mathcal{M}(U_1)\cap\mathcal{M}(V_2))\cup(\mathcal{M}(U_2)\cap\mathcal{M}(V_1)). − </math> − </blockquote> − 其中<math>\Omega_{{\rm I}}</math>对应<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间的交空间，若粗粒化策略的几个维度从该空间生成，那么该空间中的奇异向量对应的奇异值都会被保留，不存在冲突。而<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量不与<math>U_2</math>和<math>V_2</math>正交，这意味着，在保留大于<math>\epsilon</math>的奇异值的同时，会有理论上应被舍弃的奇异值保留下来。由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以它的维度可能会小于<math>r_\epsilon</math>，因此我们仍然需要从<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中生成向量补全<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>的维度。因此我们生成粗粒化策略的参数矩阵可以分为两步。 − − ===第一步：协同粗粒化=== − 第一步，就是从<math>\Omega_{{\rm I}}</math>中生成可以同时保留大于<math>\epsilon</math>的奇异值，且不存在冲突的部分。首先我们要计算出矩阵<math>(U_1,-V_1)</math>的零空间的施密特正交基， − <blockquote> − <math> − \left(\begin{array}{c} − \mathscr{A} \\ − \mathscr{B} − \end{array}\right)={\rm Schmidt}({\rm Null}(U_1,-V_1))\in\mathcal{R}^{2r_\epsilon\times r_I} − </math> − </blockquote> − 并对正交基进行线性变换，得到<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>矩阵的第一块 − <blockquote> − <math> − W_{\rm I}^T=U_1\mathscr{A} =V_1\mathscr{B} \in\mathcal{R}^{n\times r_{{\rm I}}} − </math> − </blockquote> − − ===第二步：调和粗粒化=== − 由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以它的维度<math>r_{{\rm I}}\leq r_\epsilon</math>，因此我们仍需要<math>r_{{\rm II}}= r_\epsilon-r_{{\rm I}}</math>个<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量来补全<math>W</math>，这里我们就可以尽量将包含于<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量对应的较大的奇异值保留。我们可以将这些奇异值放入向量<math>\mathbf{S}=\{s_i,\kappa_j|u_i,v_j\in\Omega_2\}</math>中，并从大到小进行排列得到<math>Q=(q_i|q_i\in\mathbf{S})</math>后，取其中最大的<math>r_{{\rm II}}</math>个奇异值构成的集合<math>\hat{Q}=(q_i|q_i\in\mathbf{S},i=1,\cdots,r_{\rm II})</math>，以及集合中奇异值对应的奇异向量<math> − u_{i|s_i\in\hat{Q}},v_{i|\kappa_i\in\hat{Q}} − </math>，并进行施密特正交化（Schmidt），得到<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>矩阵的第二块 − <blockquote> − <math> − W_{{\rm II}}^T={\rm Schmidt}(u_{i|s_i\in\hat{Q}},v_{i|\kappa_i\in\hat{Q}})\in\mathcal{R}^{n\times r_{{\rm II}}}. − </math> − </blockquote>在这里<math> − u_{i|s_i\in\hat{Q}},v_{i|\kappa_i\in\hat{Q}} − </math>分别表示<math>\hat{Q}=(q_i|q_i\in\mathbf{S},i=1,\cdots,r_{\rm II})</math>中的奇异值<math> − s_i,\kappa_i − </math>对应的奇异向量。 − − ===最终粗粒化策略=== − 最终我们可以将<math>W_{\rm I}</math>和<math>W_{\rm II}</math>两个矩阵拼接得到最终的粗粒化参数矩阵 − <blockquote> − <math> − W=\left(\begin{array}{c} − W_{{\rm I}} \\ − W_{{\rm II}} − \end{array}\right)\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}. − </math> − </blockquote> − 该策略可以让我们得到的宏观态的近似可逆性，比只使用<math>W=U_1</math>或<math>W=V_1</math>更接近真实的基于有效秩删减奇异值后得到的近似可逆性。 − − ==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略进阶版== − 虽然上述刘凯威提出高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略提供的方法可以一定程度上解决粗粒化的问题，但是我们不难发现对于真实数据，很难直接得到严格意义上的协同粗粒化的空间<math>\Omega_{{\rm I}}</math>，如果直接在真实数据中运用，很容易变成对两组奇异值的筛选。因此为了更好的应对真实数据处理，杨明哲对上述方法进行了优化，得到了高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略进阶版。该粗粒化策略主要操作依然基于奇异值的筛选，主要流程如下。
→高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现
==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略==
==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略==
在得到基于奇异值的因果涌现之后，和TPM矩阵类似，我们也可以根据逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>的奇异向量，指定在高斯迭代系统上的粗粒化策略，将高维的向量映射到低维空间。基于SVD的理论，<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，因此我们可以直接得到SVD分解
在得到基于奇异值的因果涌现之后，和TPM矩阵类似，我们也可以根据逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>的奇异向量，指定在高斯迭代系统上的粗粒化策略，将高维的向量映射到低维空间。该粗粒化策略主要操作依然基于奇异值的筛选，主要流程如下。
===第一步===
===第一步===