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Koopman理论
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2025年11月4日 (二) 15:50的版本
删除1,182字节
、
2025年11月4日 (二) 15:50
→动力学模式分解（DMD）
第344行：
第344行：
\[
\[
x(t) = 2 e^{-0.1 t} \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t) + 0.5 e^{-0.5 t} \sin(2\pi \cdot 5 \cdot t)
x(t) = 2 e^{-0.1 t} \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t) + 0.5 e^{-0.5 t} \sin(2\pi \cdot 5 \cdot t)
−
\
]
+
\
−
−
\subsection{应用 DMD}
−
\begin{enumerate}
−
\item \textbf{采样：} 以 100 Hz 频率采样，得到数据快照 $\vecx_k = x(t_k)$。
−
\item \textbf{构建 $\matX, \matXp$}。
−
\item \textbf{SVD：} 由于主导动态只有两个，取 $r=2$。SVD 将识别出两个主要模式。
−
\item \textbf{计算 $\matAt$ 和特征值：} 会得到两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$。从其幅角和幅值可解码动态：
−
\begin{align*}
−
\omega_1 &= \frac{\text{angle}(\lambda_1)}{2\pi \Delta t} \approx 1 \text{ Hz} \\
−
\omega_2 &= \frac{\text{angle}(\lambda_2)}{2\pi \Delta t} \approx 5 \text{ Hz} \\
−
\text{衰减率}_1 &= \frac{\log(|\lambda_1|)}{\Delta t} \approx -0.1 \\
−
\text{衰减率}_2 &= \frac{\log(|\lambda_2|)}{\Delta t} \approx -0.5
−
\end{align*}
−
\item \textbf{DMD 模式：} $\matPhi$ 中的两列将分别近似于纯净的 $1$ Hz 和 $5$ Hz 衰减正弦波。
−
\item \textbf{振幅：} 初始振幅 $\vecb$ 的计算结果将接近 $[2, 0.5]^T$。
−
\end{enumerate}
−
−
DMD 成功地从混合信号中分离出了频率、衰减率和振幅这两个独立的动态模式。
−
−
\end{document}
==扩展DMD==
==扩展DMD==
黄芸
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