842
个编辑
更改
→扩展DMD
在这种情况下，DMD会预测出一个伪特征值3，这实际上是前两个特征值<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个特征向量之和。因此，正如下文所述，采用验证与交叉验证技术以避免eDMD模型过拟合是非常重要的。
在这种情况下，DMD会预测出一个伪特征值3，这实际上是前两个特征值<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个特征向量之和。因此，正如下文所述，采用验证与交叉验证技术以避免eDMD模型过拟合是非常重要的。
Koopman算子的特征函数形成了Koopman不变子空间，并为动力学提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。然而，Koopman特征函数在标准基底中可能没有有限的表达。因此，这些特征函数可能只能通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数集合<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：
<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>
<math> \varphi(\mathbf{x}) \approx \sum_{k=1}^{p} \xi_k g_k(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{g}(\mathbf{x}) </math>
在离散时间中，Koopman特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>在一组数据快照轨迹<math>{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m}</math>上的值应满足：
在离散时间中，Koopman特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>在一组数据快照轨迹<math>{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m}</math>上的值应满足：
<math> \lambda \left[\varphi(\mathbf{x}_1)\;\; \varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_m)\right] = \left[\varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \varphi(\mathbf{x}_3)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_{m+1})\right] </math>
<math> \lambda \left[\varphi(\mathbf{x}_1)\;\; \varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_m)\right] = \left[\varphi(\mathbf{x}_2)\;\; \varphi(\mathbf{x}_3)\;\; \cdots\;\; \varphi(\mathbf{x}_{m+1})\right] </math>
将<math>\varphi</math>用（5.5）表达式展开，这个位等关系变为：
将<math>\varphi</math>展开，这个关系变为：
<math> \lambda \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_1\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_m\right] = \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_3\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_{m+1}\right] </math>
<math> \lambda \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_1\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_m\right] = \left[\boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_2\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_3\;\; \cdots\;\; \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}_{m+1}\right] </math>
进而可以用数据矩阵<math>\mathbf{Z}</math>和<math>\mathbf{Z}'</math>将其写作如下矩阵方程：
进而可以用数据矩阵<math>\mathbf{Z}</math>和<math>\mathbf{Z}'</math>将其写作如下矩阵方程：
<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z} - \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' = 0 </math>
<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z} - \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' = 0 </math>
如果我们对上式采用[[最小二乘]]（least-squares）拟合，这就化简为eDMD：
<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>
<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>
特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在基底<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右特征向量是eDMD模态（modes），与DMD模态类似。
特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在基底<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右特征向量是eDMD模态，与DMD模态类似。
必须确认预测到的特征函数在轨迹上确实表现为线性，这可以通过与预测动力学<math>\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k)</math>进行比较来实现，因为上述回归会导致伪特征值和伪特征向量，除非基底函数<math>g_k</math>张成了Koopman不变子空间。
必须确认预测到的特征函数在轨迹上确实表现为线性，这可以通过与预测动力学<math>\varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k)</math>进行比较来实现，因为上述回归会导致伪特征值和伪特征向量，除非基底函数<math>g_k</math>张成了Koopman不变子空间。