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为了将'''沙堆模型'''从标准方格的矩形网格推广到任意无向有限多重图 <math> G=(V,E)</math> ，在 <math> V</math> 中指定了一个不允许崩塌的特殊”沉没 sink“ 顶点<math> s</math>。模型的构型（状态）服从函数<math> z:V\setminus\{s\}\rightarrow\mathbb{N}_0</math>，计算每个非沉没顶点上的非负沙粒数。非沉没顶点<math> v\in V\setminus\{s\} </math>当满足<math> z(v)\geq \deg(v) </math>时是不稳定的，它会产生崩塌，向给它的每个（非沉没）邻居分发一颗沙粒：

为了将'''沙堆模型'''从标准方格的矩形网格（棋盘格）推广到任意无向有限多重图 <math> G=(V,E)</math> ，在 <math> V</math> 中指定了一个不允许崩塌的特殊顶点——吸收（汇）”sink“ 顶点<math> s</math>。模型的构型（或状态）函数<math> z:V\setminus\{s\}\rightarrow\mathbb{N}_0</math>用来计算每个非吸收顶点上的非负沙粒数。非吸收顶点<math> v\in V\setminus\{s\} </math>在<math> z(v)\geq \deg(v) </math>时是不稳定的，它会产生崩塌，向给它的每个非吸收邻居分发一颗沙粒：

:<math>z(v) \to z(v) - \deg(v)</math>

:<math>z(v) \to z(v) - \deg(v)</math>

:<math>z(u) \to z(u) + 1</math>对于所有的<math>u\sim v</math>, <math>u\neq s</math>

:<math>z(u) \to z(u) + 1</math>对于所有的<math>u\sim v</math>, <math>u\neq s</math>

[[元胞自动机]]像之前一样进行，即在每次迭代中，向随机选择的非沉没顶点添加一个沙粒，不断进行崩塌过程，直到所有顶点都稳定。

像前面一样，这个[[元胞自动机]]可以运行起来，即在每次迭代中，向随机选择的非吸收顶点添加一个沙粒，不断进行崩塌过程，直到所有顶点都稳定。

上面给出的沙堆模型的定义，是在标准正方形网格<math>\mathbb{Z}^2</math>上的有限矩形网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>上，它可以看作是下面定义的一个特例：考虑图<math>G=(V,E)</math>，从<math>\Gamma</math>添加一个沉没顶点，并添加从沉没顶点到每个边界顶点的边，使得<math>G</math>的每个非沉没顶点的度数为4。以这种方式，也可以定义标准正方形网格（或任何其他类型网格）的非矩形格上的沙堆模型: 将<math>\mathbb{R}^2</math>的一些有界子集<math>S</math>与<math>\mathbb{R}^2</math>相交。收缩<math>\mathbb{Z}^2</math>的每条边，其两个端点不在<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>中。<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>之外的一个单独剩余顶点构成了最终沙堆图的沉没顶点。

我们前面讨论的在标准方格的有限矩形网格上的沙堆模型可以看做以下定义的一个特例，在图<math>G=(V,E)</math>，添加一个吸收顶点，并将其连接到边界上的顶点，使得<math>G</math>的每个非吸收顶点的度数为4。以这种方式，也可以定义标准正方形网格（或任何其他类型晶格）的非矩形格上的沙堆模型: 用<math>\mathbb{Z}^2</math>横截<math>\mathbb{R}^2</math>的一些有界子集<math>S</math>，收缩其两个端点不在<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>中的<math>\mathbb{Z}^2</math>的每条边。<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>之外的单独一个剩余顶点构成了最终沙堆图的吸收顶点。

==瞬态和循环构型==

==瞬态和循环构型==