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= 本征微观态及其演化 =

= 本征微观态及其演化 =

对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。

对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。

一个主体<math>i</math>的平均状态是

一个主体<math>i</math>的平均状态是

<math>\begin{eqnarray}\delta {S}_{i}(t)={S}_{i}(t)-\langle {S}_{i}\rangle\end{eqnarray}</math>。这里定义一个具有所有主体的波动的微观态，它由一个<math>N</math>维矢量表示：

<math>\begin{eqnarray}\delta {S}_{i}(t)={S}_{i}(t)-\langle {S}_{i}\rangle\end{eqnarray}</math>。这里定义一个具有所有主体的波动的微观态，它由一个<math>N</math>维矢量表示：

<math>\begin{eqnarray}\delta {\boldsymbol{S}}(t)=\left[\begin{array}{c}\delta {S}_{1}(t)\\ \delta {S}_{2}(t)\\ \vdots \\ \delta {S}_{N}(t)\end{array}\right]\end{eqnarray}</math>。

<math>\begin{eqnarray}\delta {\boldsymbol{S}}(t)=\left[\begin{array}{c}\delta {S}_{1}(t)\\ \delta {S}_{2}(t)\\ \vdots \\ \delta {S}_{N}(t)\end{array}\right]\end{eqnarray}</math>。

有了<math>M</math>个微观态，我们可以组成一个复杂系统的统计系综。这个系综由一个<math>N×M</math>的矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>来描述，其元素为<math>\begin{eqnarray}{A}_{{it}}=\displaystyle \frac{\delta {S}_{i}(t)}{\sqrt{{C}_{0}}}\end{eqnarray}</math>，其中

有了<math>M</math>个微观态，我们可以组成一个复杂系统的统计系综。这个系综由一个<math>N×M</math>的矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>来描述，其元素为<math>\begin{eqnarray}{A}_{{it}}=\displaystyle \frac{\delta {S}_{i}(t)}{\sqrt{{C}_{0}}}\end{eqnarray}</math>，其中

<math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。

<math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。

统计系综也可以被视为主体的动态微观态的系综，它们由<math>M</math>维向量描述：<math>\begin{eqnarray}\delta {{\boldsymbol{S}}}_{i}=\left[\delta {S}_{i}（1），\delta {S}_{i}（2），\cdots ，\delta {S}_{i}（M）\right]\end{eqnarray}</math>，其中<math>i=1,2, … , N</math>。

<math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math>。以<math>{C}_{tt}^{\prime} </math>作为其元素，我们可以得到一个<math>M×M</math>的微观态相关矩阵：<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{C}}={C}_{0}{{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\cdot {\boldsymbol{A}}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{C}={\sum }_{t=1}^{M}{C}_{tt}={C}_{0}</math>。相关矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>有<math>M</math>个特征向量<math>V_J</math>，其中<math>J = 1, 2, ⋯ , M</math>，我们可以用它们组成一个<math>M×M</math>的单元矩阵

<math>\boldsymbol{V}=\left[\boldsymbol{V}_1 \boldsymbol{V}_2 \ldots \boldsymbol{V}_M\right]</math>

 

 

此外，我们在这里考虑动态微观状态<math>δS_i</math>和<math>δS_j</math>之间的相关性：<math>\begin{eqnarray}{{\boldsymbol{S}}}_{j}^{{{T}}}=\displaystyle \sum _{t=1}^{M}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{j}(t)\end{eqnarray}</math>。以<math>K_{ij}</math>为元素，我们可以得到一个<math>N×N</math>的动态微观态的相关矩阵：

<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{K}}={C}_{0}{\boldsymbol{A}}\cdot {\boldsymbol{A}}^{T}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{K}={\sum }_{t=1}^{N}{K}_{ii}={C}_{0}</math>。相关矩阵<math>\boldsymbol{K}</math>有<math>N</math>个特征向量<math>U_I</math>，其中<math>I = 1, 2, ⋯ , N</math>，我们可以用它们组成一个<math>N×N</math>的单元矩阵

<math>\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{U}_2 \ldots \boldsymbol{U}_N\right]</math>。