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对于开放、广泛、处于非平衡态的复杂系统，研究者们往往难以得到它们的哈密顿量、统计分布、序参量。虽然可获取的试验与观测数据越来越多，但如何更好地从这些数据出发，研究复杂系统的集体行为或相变与临界现象，却依然是一道难题。
针对该问题，北京师范大学陈晓松教授与其合作者们提出了一个解决方案<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref><ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，即本征微观态方法。他们从吉布斯所提出的统计系综理论出发，基于复杂系统个体的观测或模拟数据，构建复杂系统的微观态和统计系综。以描述系统微观态的高维向量作为列，系统个体的演化序列作为行，来得到归一的统计系综矩阵。他们利用奇异值分解方法，分解统计系综矩阵，很好地研究了复杂系统中本征微观态的凝聚与系统的相变。
更进一步地，陈晓松教授与其合作者们提出了本征微观态重整化群理论<ref name="gaoke">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>，研究卡丹诺夫重整化群变换下本征微观态的非平庸不动点，从而对统一地处理广泛的平衡和非平衡复杂系统临界现象提供了有力的见解。
陈晓松教授团队成功地将本征微观态方法应用于二维伊辛模型、地球表面温度、中国股票价格等三类不同领域的复杂系统<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>，胡進錕等亦将此方法应用至美国民航延误的研究<ref name="chin">{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>中，这揭示了这些系统的集体行为和它们的相变与临界现象，证实了该理论框架可用于一般平衡和非平衡系统。
= 理论背景 =
= 理论背景 =
利用本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，可以将重整化群思想引入本征微观态理论中。在研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：
利用本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，可以将重整化群思想引入本征微观态理论中。在研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：
<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>， <ref>{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=/10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。
<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>，<ref name="gaoke">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。
在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：
在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：
为了避免第二个微观态在一天的后半段的干扰，我们只在第20个时间点和第45个时间点之间使用公式<math>P^{\prime \prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b+c \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^2</math>，而在其他时间点使用公式<math>P^{\prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b</math>。修改后的曲线如右图所示。
为了避免第二个微观态在一天的后半段的干扰，我们只在第20个时间点和第45个时间点之间使用公式<math>P^{\prime \prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b+c \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^2</math>，而在其他时间点使用公式<math>P^{\prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b</math>。修改后的曲线如右图所示。
这意味着，某一时间点的延误率与机场间的延误分布和民航系统的延误强度有正相关关系。因此，为了降低延误率，我们可以通过调整每个机场的起飞时间，并优化延误较多的关键机场来调整机场间的延误分布<ref>{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>。
这意味着，某一时间点的延误率与机场间的延误分布和民航系统的延误强度有正相关关系。因此，为了降低延误率，我们可以通过调整每个机场的起飞时间，并优化延误较多的关键机场来调整机场间的延误分布<ref name="chin">{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>。
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