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=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===

=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===

为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。

为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。

[[文件:三种曲率.png|缩略图|图6：三种曲率]]

[[文件:三种曲率.png|替代=图6 三种曲率|居中|缩略图|568x568像素|图6：三种曲率]]

 

 

 

空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。

空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。

[[文件:曲率与空间的大小.png|缩略图|图7：曲率与空间的大小]]

[[文件:曲率与空间的大小.png|缩略图|图7：曲率与空间的大小|替代=|居中|568x568像素]]

由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面)；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。

由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面)；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。

你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，比平面多装下了一块，代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。

你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，比平面多装下了一块，代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。

[[文件:翘曲的平面（图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained ).png|缩略图|图8：翘曲的平面（图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained )]]

[[文件:翘曲的平面（图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained ).png|缩略图|图8：翘曲的平面（图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained )|替代=|居中|368x368像素]]

其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。

其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。

[[文件:钩针编织的海珊瑚（图片来源于https---crochetcoralreef.org-）.jpg|缩略图|钩针编织的海珊瑚（图片来源于https---crochetcoralreef.org-）]]

[[文件:钩针编织的海珊瑚（图片来源于https---crochetcoralreef.org-）.jpg|缩略图|图9：钩针编织的海珊瑚（图片来源于https---crochetcoralreef.org-）|替代=钩针编织的海珊瑚（图片来源于https---crochetcoralreef.org-）|居中|400x400像素]]

 

[[文件:银耳（图片来源于网络).jpg|居中|缩略图|398x398像素|图10：银耳（图片来源于网络)]]

至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义的：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。

至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义的：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。