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== 简介 ==
== 简介 ==
为了克服先前研究中发现的局限性，随机迭代系统
<math>
x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t, A\in\mathcal{R}^{n\times n}, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma), ${\rm rk}(A)={\rm rk}(\Sigma)=n
</math>
通过粗粒化策略
<math>
y_t=Wx_t, W\in R^{k\times n},k<n
</math>
得到宏观动力学
<math>
y_{t+1}=A_M y_t+\varepsilon_{M,t}, $A_M=WAW^\dagger\in \mathcal{R}^{k\times k}$, $\varepsilon_{M,t}\sim \mathcal{N}(0,\Sigma_M), \Sigma_M=W\Sigma W^{T}$. $W^\dagger$
</math>
后的因果涌现
<math>
<math>
</math>
</math>
两者分别是微观态、宏观态的确定性、简并性做差产生。粗粒化造成的确定性涌现越大、简并性涌现越小、因果涌现也会越大。
为了找到不依赖粗粒化策略的因果涌现，我们可以通过优化粗粒化策略得到因果涌现的最优解
<math>
\Delta\mathcal{J}^{*}=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\ln\displaystyle|\lambda_i|-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln\displaystyle|\lambda_i|+\eta
</math>
其中<math>
|\lambda_1|\geq|\lambda_2|\geq\dots\geq|\lambda_n|\geq 0
</math>是参数矩<math>
A\in\mathcal{R}^{n\times n}, ${\rm rk}(A)={\rm rk}，
</math>的特征值，<math>
\eta
</math>是粗粒化造成的信息熵损失<math>
\frac{1}{n}H(p(x_{t+1})|p(x_t))-\frac{1}{k}H(p(y_{t+1}|y_t))
</math>的下界.
== 随机迭代系统的有效信息 ==
== 随机迭代系统的有效信息 ==