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− | 简介 | + | ==简介== |
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| 有组织的物质在自然界中是广泛存在的,物理学的分支应该可以处理它-统计力学-只是缺乏一致性,原则性的方式去描述,测量,以及检测这么多自然展示出来的不同结构。统计力学有好的测量无序的热力学熵,以及相关的量化方法,比如自由能。当扩展关键模式和斑图形式的时候,它也能够拥有非常好的成功方法,来分析从对称性破缺中形成的斑图。在均衡态和最近的非均衡态都能应用。不幸的是,这些成功包含了很多技巧性处理——比如说猜测序参量,为扰动扩展标识小参量,和给空间拆分选择合适的功能基。目前这些方法还远不够清晰,还不能处理所有在自然界中遇到的多样性组织,特别是那些生物形成的过程。 | | 有组织的物质在自然界中是广泛存在的,物理学的分支应该可以处理它-统计力学-只是缺乏一致性,原则性的方式去描述,测量,以及检测这么多自然展示出来的不同结构。统计力学有好的测量无序的热力学熵,以及相关的量化方法,比如自由能。当扩展关键模式和斑图形式的时候,它也能够拥有非常好的成功方法,来分析从对称性破缺中形成的斑图。在均衡态和最近的非均衡态都能应用。不幸的是,这些成功包含了很多技巧性处理——比如说猜测序参量,为扰动扩展标识小参量,和给空间拆分选择合适的功能基。目前这些方法还远不够清晰,还不能处理所有在自然界中遇到的多样性组织,特别是那些生物形成的过程。 |
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| 为了给延续数学和提出在这里使用的假定打好基础,我们现在开始回顾以前在斑图、随机性和因果关系的工作。我们鼓励只对数学前沿感兴趣的读者跳到第二节F部分——计算力学的中心假定概要——并从那里继续。 | | 为了给延续数学和提出在这里使用的假定打好基础,我们现在开始回顾以前在斑图、随机性和因果关系的工作。我们鼓励只对数学前沿感兴趣的读者跳到第二节F部分——计算力学的中心假定概要——并从那里继续。 |
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− | II. 斑图 | + | ==II. 斑图== |
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| 为了介绍我们的方法——同时去论证有些方法是必要的——发现和描述自然界中的斑图,我们开始引用豪尔赫·路易斯·博尔赫斯(Jorge Luis Borges ,1899年8月24日-1986年6月14日,男,阿根廷诗人、小说家、散文家兼翻译家,被誉为作家中的考古学家。): | | 为了介绍我们的方法——同时去论证有些方法是必要的——发现和描述自然界中的斑图,我们开始引用豪尔赫·路易斯·博尔赫斯(Jorge Luis Borges ,1899年8月24日-1986年6月14日,男,阿根廷诗人、小说家、散文家兼翻译家,被誉为作家中的考古学家。): |
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| 在这里我们要强调的是,“斑图”在这里体现了一种规范,结构,对称,组织,以及如此等等。相反地,通常的用法有时可以接受,比如,讨论关于像素的“斑图”,在一小部分片段-通道视频“雪原”;但我们更希望说什么是像素的配置。 | | 在这里我们要强调的是,“斑图”在这里体现了一种规范,结构,对称,组织,以及如此等等。相反地,通常的用法有时可以接受,比如,讨论关于像素的“斑图”,在一小部分片段-通道视频“雪原”;但我们更希望说什么是像素的配置。 |
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− | A. 代数斑图 | + | ===A. 代数斑图=== |
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| 虽然斑图发现的问题出现得较早,在柏拉图的美诺篇(Plato's Meno,“美诺”可以看作是音译,也可以意译为美好的诺言。)【25】中,有一个例子,有可能第一次将“斑图”概念在数学上做严格定义的,是怀特海和罗素的数学原理。他们将斑图视为属性而非集合,但是属于在集合内或之间的关系,而且相应地他们作出了精心构思的关系-代数【26, vol. II,part IV】;cf. 【27,ch. 5-6】。这开创了定义两个集合之间一个关系的关系数,使得所有关系构成的类别,在一对一,到映射两个集合的意义上,是等价的。在这个框架中,关系享有常见的斑图或结构,如果他们拥有相同的关系数。举例来说,所有的方形晶格拥有相似的结构,因为他们的元素共享相同的邻接关系;所有的六边形晶格也是如此。尽管六边形和方形晶格,展现不同斑图,因为他们邻接关系不是同构的-也就是说,因为他们拥有不同的关系数。(也可参阅定义在参考文献【28】中的记录等价)在这上面所做的工作比期望的——尤其是罗素——要少些。这个或许可以延续到参考文献【26】第二卷一般性缺失的部分。 | | 虽然斑图发现的问题出现得较早,在柏拉图的美诺篇(Plato's Meno,“美诺”可以看作是音译,也可以意译为美好的诺言。)【25】中,有一个例子,有可能第一次将“斑图”概念在数学上做严格定义的,是怀特海和罗素的数学原理。他们将斑图视为属性而非集合,但是属于在集合内或之间的关系,而且相应地他们作出了精心构思的关系-代数【26, vol. II,part IV】;cf. 【27,ch. 5-6】。这开创了定义两个集合之间一个关系的关系数,使得所有关系构成的类别,在一对一,到映射两个集合的意义上,是等价的。在这个框架中,关系享有常见的斑图或结构,如果他们拥有相同的关系数。举例来说,所有的方形晶格拥有相似的结构,因为他们的元素共享相同的邻接关系;所有的六边形晶格也是如此。尽管六边形和方形晶格,展现不同斑图,因为他们邻接关系不是同构的-也就是说,因为他们拥有不同的关系数。(也可参阅定义在参考文献【28】中的记录等价)在这上面所做的工作比期望的——尤其是罗素——要少些。这个或许可以延续到参考文献【26】第二卷一般性缺失的部分。 |
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| 也有另一个代数方法被格列南德(Grenander)和他的同事开发出发,主要用于斑图识别【32】。本质上来讲,这对于为斑图问题发明一个生成器和约束最小集是至关重要的。生成器可以串联彼此,在一个合适的n维空间上,仅当他们的约束是兼容的。每一个兼容的约束对,同时指定一个二值代数操作,和一个从生成器构建出来的配置可观测元素。(我们在附录D中建立,用字符串连接来链接一个代数操作,是一种类似的粗陋方式。)可能性可以被附加到这些约束上,以自然方式导向到一个在整个配置之上的(吉布斯(Gibbsian))概率分布。格列南德和他的同僚们使用过这些方法去描述特征,其中也包括,几种生物范式【33,34】。 | | 也有另一个代数方法被格列南德(Grenander)和他的同事开发出发,主要用于斑图识别【32】。本质上来讲,这对于为斑图问题发明一个生成器和约束最小集是至关重要的。生成器可以串联彼此,在一个合适的n维空间上,仅当他们的约束是兼容的。每一个兼容的约束对,同时指定一个二值代数操作,和一个从生成器构建出来的配置可观测元素。(我们在附录D中建立,用字符串连接来链接一个代数操作,是一种类似的粗陋方式。)可能性可以被附加到这些约束上,以自然方式导向到一个在整个配置之上的(吉布斯(Gibbsian))概率分布。格列南德和他的同僚们使用过这些方法去描述特征,其中也包括,几种生物范式【33,34】。 |
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− | B. 图灵机制:斑图和有效过程 | + | ===B. 图灵机制:斑图和有效过程=== |
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| 另外找寻斑图的路径可以沿着逻辑基础数学的传统探究来进行,象弗雷格、希尔伯特所表达的和丘奇、哥德尔、波斯特、罗素、图灵、和怀特海所先行的。最近的,也是和流行更有关联的方法则是回到柯尔莫哥洛夫和蔡汀,他们的研究领域恰巧在于重构单独的物件【35,38】;尤其是,他们聚焦于离散符号系统,而不是(说)实数或其他数学物件。用于表征斑图P的备选项有通用图灵机(Universal Turing machine, UTM)程序——尤其是,刚好生成物件O的最短UTM程序。这个程序的长度被叫作O的柯尔莫哥洛夫和蔡汀复杂度。注意到任何体系——自动机,语法,又或者有什么不是——这些是图灵等价的,而且对那些“长度”的观念是定义优良的,将用于表征体系。自从我们可以将这些一个设备转换到另一个——比如说,从一个波斯特标记系统【39】到图灵机——对第一个系统只使用有限的描述,当使用这种方法来衡量复杂性时,这类约束容易被融合到一块。 | | 另外找寻斑图的路径可以沿着逻辑基础数学的传统探究来进行,象弗雷格、希尔伯特所表达的和丘奇、哥德尔、波斯特、罗素、图灵、和怀特海所先行的。最近的,也是和流行更有关联的方法则是回到柯尔莫哥洛夫和蔡汀,他们的研究领域恰巧在于重构单独的物件【35,38】;尤其是,他们聚焦于离散符号系统,而不是(说)实数或其他数学物件。用于表征斑图P的备选项有通用图灵机(Universal Turing machine, UTM)程序——尤其是,刚好生成物件O的最短UTM程序。这个程序的长度被叫作O的柯尔莫哥洛夫和蔡汀复杂度。注意到任何体系——自动机,语法,又或者有什么不是——这些是图灵等价的,而且对那些“长度”的观念是定义优良的,将用于表征体系。自从我们可以将这些一个设备转换到另一个——比如说,从一个波斯特标记系统【39】到图灵机——对第一个系统只使用有限的描述,当使用这种方法来衡量复杂性时,这类约束容易被融合到一块。 |